【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 条件付き確率

条件付き確率

事象 $A$ が起こったとき，事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A} (B)$ は，

$\displaystyle P_{A} (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

説明

ある一つの試行における事象 $A,B$ において，条件付き確率 $P_{A} (B)$ とは，

「全事象を $A$ とした時の，事象 $B$ の起こりやすさ」

を表す値である。

$A$ が起こったときに $B$ が起こる場合の数は，一つの試行において $A,B$ がともに起こる場合の数であるから， $n(A \cap B)$ である。

よって，

$\displaystyle P_{A} (B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$

①の分母，分子をそれぞれ，この試行の全事象の個数 $n(U)$ で割ると，

$\displaystyle P_{A} (B)= \frac{ \frac{n(A \cap B)}{n(U)}}{ \frac{n(A)}{n(U)}}$

$\displaystyle = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

となる。

なお，ここで示したことから，確率の乗法定理

$P(A \cap B) = P(A) \times P_{A} (B)$

が成り立つことも分かる。