【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A –順列・円順列・数珠順列・重複順列・同じものを含む順列

順列

$n$ , $r$ は $r \leqq n$ をみたす自然数とする。異なる $n$ 個から $r$ 個を選び，一列に並べる並べ方の総数を $_{n} P _{r}$ で表す。このとき，

$_{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)$ 通り

説明

1から5までの数が1つずつ書かれた5つの球が袋の中にある。

この球を1つずつ取り出し，取り出した順に一列に並べる。

このとき，異なる5つの球から3つを選び，一列に並べる並べ方は全部で何通りあるかを考えると，

1番目の球に書かれた数は，1,2,3,4,5の5通りあり，

2番目の球に書かれた数は1番目以外の4通りあり，

3番目の球に書かれた数は1番目と2番目以外の3通りある。

よって，球を取り出した順に一列に並べる並べ方は全部で，

$5 \cdot 4 \cdot 3 =60$ (通り)

このように，いくつかのものを順に1列に並べるとき，その並びの1つ1つを順列という。異なる $n$ 個から $r$ 個を選び，取り出した順に一列に並べる並べ方の総数を $_{n} P _{r}$ と表し， $_{n} P _{r}$ は，

$_{n} P _{r} =n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)$ ( $n$ , $r$ は $r \leqq n$ をみたす自然数)

と表される。

異なる $n$ 個のものを円形に並べる並べ方は，

$(n-1)!$ 通り

異なる $n$ 個の球に糸を通してネックレスのようなものを作る順列を数珠順列(ネックレスの順列)という。このとき数珠順列の総数は，

$\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}$ 通り

同じものを含むいくつかの球に糸を通してネックレスを作る順列を数珠順列(ネックレスの順列)という。このとき球を円形に並べる並べ方が $n$ 通りあり，そのうち左右対称な並べ方が $m$ 通りあるとき，数珠順列の総数は，

$\displaystyle m+ \frac{n-m}{2}$ (通り)

説明

例えば，赤球1個，白球2個，黒球3個に糸を通してネックレスを作る順列を考える。

まず，赤球1個，白球2個，黒球3個を円形に並べつ順列の総数は，白球2個，黒球3個が同じものになるので，

$\displaystyle \frac{(6-1)!}{2!3!} = \frac{5!}{2!3!} =10$ (通り)

このうち並べ方が左右対称なものは白球が左右対称に並ぶもので2通りある〈図１〉。よって，円順列の中で左右対称な並び方は $10-2=8$ (通り)ある。

左右対称な並べ方では，裏返しても同じ並べ方が存在する。数珠順列では，これを同じ並べ方とするので，〈図２〉，ネックレスを作る順列は，

$\displaystyle m+ \frac{n-m}{2}$ 通り

と表せる。

異なる $n$ 個のものを重複を許して一列に $m$ 個並べるとき，その並べ方は

$n^m$ 通り

$n$ 個のもののうち、 $p$ 個が同じもの，$q$ 個が同じもの， $r$ 個が同じもの， $\cdots$ のとき，この $n$ 個を一列に並べる並べ方は，

$\displaystyle \frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \cdots}$ 通り

説明(同じものを含む順列は，すべて異なるものと考えた順列との比を利用する！)

$a,a,a,b,c$ の順列を考える。このとき，重要なのは

①：「 $a_{1} , a_{2} , a_{3} , b , c$ の順列」と②：「 $a,a,a,b,c$ の順列」の『比』

を考えることである。( $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ は，3つの $a$ をあえて区別したものである。)

このように，①と②の『比』は $3!:1$ であり，①の順列が $5!$ 通りあるのに対して，②の順列が $X$ 通りとすると，右のような式が成り立つ。

よって，5つの文字のうち3つ同じものを含む順列は，全体の個数の階乗を同じものの個数で割ればよいことになる。

このように， $n$ 個のもののうち， $p$ 個， $q$ 個， $r$ 個， $\cdots$ が同じもののときの順列の総数は，

$\displaystyle \frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \cdots}$ 通り。