【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 背理法

背理法

ある命題を証明するのに，その命題が成り立たないと仮定し，矛盾を導き，ある命題が成り立つことを証明する証明法を背理法という。

説明

命題 $p \Longrightarrow q$ を証明するときに， $p \Longrightarrow \overline{q}$ とし矛盾を導くことで命題が成り立つことを示す証明法を背理法という。

例えば， $\sqrt{2}$ が無理数であることを背理法を用いて示す。

$\sqrt{2}$ が有理数であるとすると，

$\displaystyle \sqrt{2} = \frac{m}{n}$ （ $m$ ， $n$ は互いに素である正の整数）

と表せる。両辺を２乗して，整理すると

$2n^2 =m^2$

となり， $m^2$ が２の倍数なので， $m$ は２の倍数となる。 $m=2k$ （ $k$ ：整数）とおいて，上の式に代入すると，

$n^2 =2k^2$

となり， $n^2$ は２の倍数なので， $n$ は２の倍数となるが、これは $m$ ， $n$ が互いに素である整数であることに矛盾する。よって， $\sqrt{2}$ は無理数である。