【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 命題の真偽と逆・裏・対偶

証明

全体集合を $U$ とし，条件 $p$ をみたす要素の集合を $P$ ，条件 $q$ をみたす要素の集合を $Q$ とすると，「 $p \Longrightarrow q$ 」が真であるのは $P \subset Q$ のときだけである〈図１〉。

（集合） $P$の補集合 $\overline{P}$ は〈図２〉のようになり，（集合） $Q$ の補集合 $\overline{Q}$ は〈図３〉のようになる。

このとき， $\overline{Q}$ は $\overline{P}$ に含まれ，

「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 」

も真となる。

したがって，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」が真であれば，その対偶「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ も真であり，命題「$p \Longrightarrow q$ 」が偽であれば，その対偶「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 」も偽である。

注：「 $p \Longrightarrow q$ 」という命題の真偽判定の方法

(i)条件 $p$ をみたすすべてのものが条件 $q$ をみたすとき，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」は真であると判断する。

(ii)条件 $p$ をみたすものの中で，条件 $q$ をみたさないもの(これを反例という)が存在するとき，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」は偽であると判断する。

(「 $p \Longrightarrow q$ 」が偽であることをいうためには反例を1つ示せばよい)