面積比

三角形 $\mathrm{ ABC }$ に対して，辺 $\mathrm{ BC }$ を $m:n$ に内分する点を $\mathrm{ D }$ ，辺 $\mathrm{ AD }$ を $s:t$ に内分する点を $\mathrm{ E }$ とする。このとき，

[Ⅰ] △ABD:△ACD=m:n\triangle \mathrm{ ABD } : \triangle \mathrm{ ACD } =m:n

[Ⅱ] △ABC:△EBC=s+t:t\triangle \mathrm{ ABC } : \triangle \mathrm{ EBC } =s+t:t

証明

[Ⅰ] 〈図１〉のように，点 H\mathrm{ H } を点 A\mathrm{ A } から線分 BC\mathrm{ BC } に下ろした垂線の足とする。このとき，

 {       △ABD=12⋅BD⋅AH=12⋅mm+nBC⋅AH    △ACD=12⋅CD⋅AH=12⋅nm+nBC⋅AH      \left\{    \begin{array}{l}     \displaystyle \triangle \mathrm{ ABD } = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BD } \cdot \mathrm{ AH } = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{m+n} \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH } \\     \displaystyle \triangle \mathrm{ ACD } = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CD } \cdot \mathrm{ AH } = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{m+n} \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }    \end{array}  \right.

これより，

△ABD:△ACD=m⋅BC⋅AH2(m+n):n⋅BC⋅AH2(m+n)=m:n\displaystyle \triangle \mathrm{ ABD } : \triangle \mathrm{ ACD } = \frac{m \cdot \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }}{2(m+n)} : \frac{n \cdot \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }}{2(m+n)} =m:n

[Ⅱ] 〈図２〉のように，点 HA\mathrm{ H_{ A } } ， HE\mathrm{ H_{ E } } をそれぞれ点 A\mathrm{ A } ， E\mathrm{ E } から線分 BC\mathrm{ BC } に下ろした垂線の足とする。このとき， △ADHA\triangle \mathrm{ ADH_{ A } } と △EDHE\triangle \mathrm{ EDH_{ E } } は相似なので，

AHA:EHE=AD:ED=s+t:t\mathrm{ AH_{ A } } : \mathrm{ EH_{ E } } = \mathrm{ AD } : \mathrm{ ED } =s+t:t

△ABC\triangle \mathrm{ ABC } と △EBC\triangle \mathrm{ EBC } の底辺を BC\mathrm{ BC } とみると，面積比は高さの比に等しいので，

△ABC:△EBC=AHA:EHE=s+t:t\triangle \mathrm{ ABC } : \triangle \mathrm{ EBC } = \mathrm{ AH_{ A } } : \mathrm{ EH_{ E } } = s+t:t