四角形の面積(対角線の積)

右のような凸四角形 $\mathrm{ ABCD }$ の対角線の交点を $\mathrm{ E }$ ，$\angle \mathrm{ AED } = \alpha$ とする。四角形の面積を $S$ とするとき，

S=12AC⋅BD⋅sin⁡α\displaystyle S= \frac{1}{2} \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } \cdot \sin \alpha

証明

右図の凸四角形 ABCD\mathrm{ ABCD } について， ∠AED=α\angle \mathrm{ AED } = \alpha より， ∠AEB=180∘−α\angle \mathrm{ AEB } =180^{ \circ } - \alpha ， ∠BEC=α\angle \mathrm{ BEC } = \alpha ， ∠CED=180∘−α\angle \mathrm{ CED } =180^{ \circ } - \alpha 。

ここで四角形 ABCD\mathrm{ ABCD } の面積を △AEB\triangle \mathrm{ AEB } ， △BEC\triangle \mathrm{ BEC } ， △CED\triangle \mathrm{ CED } ， △DEA\triangle \mathrm{ DEA } の4つに分割して SS を求める。

S=△AEB+△BEC+△CED+△DEAS= \triangle \mathrm{ AEB } + \triangle \mathrm{ BEC } + \triangle \mathrm{ CED } + \triangle \mathrm{ DEA }

=12⋅AE⋅BE⋅sin⁡(180∘−α)+12⋅BE⋅CE⋅sin⁡α= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AE } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin (180^{ \circ } - \alpha ) + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BE } \cdot \mathrm{ CE } \cdot \sin \alpha

+12⋅CE⋅DE⋅sin⁡(180∘−α)+12⋅DE⋅AE⋅sin⁡α\displaystyle +\frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CE } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin (180^{ \circ } - \alpha )+ \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ DE } \cdot \mathrm{ AE } \cdot \sin \alpha

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^{ \circ } - \alpha ) = \sin \alpha であるから，

S=12⋅AE⋅BE⋅sin⁡α+12⋅BE⋅CE⋅sin⁡α+12⋅CE⋅DE⋅sin⁡α+12⋅DE⋅AE⋅sin⁡α\displaystyle S= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AE } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BE } \cdot \mathrm{ CE } \cdot \sin \alpha+ \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CE } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ DE } \cdot \mathrm{ AE } \cdot \sin \alpha

=12⋅(AE+CE)⋅BE⋅sin⁡α+12⋅(AE+CE)⋅DE⋅sin⁡α\displaystyle =\frac{1}{2} \cdot ( \mathrm{ AE } + \mathrm{ CE } ) \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot ( \mathrm{ AE } + \mathrm{ CE } ) \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha

=12⋅AC⋅BE⋅sin⁡α+12⋅AC⋅DE⋅sin⁡α\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha

=12⋅AC⋅(BE⋅ DE)⋅sin⁡α\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot ( \mathrm{ BE } \cdot  \mathrm{ DE } ) \cdot \sin \alpha

=12⋅AC⋅BD⋅sin⁡α\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } \cdot \sin \alpha