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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 三角形の面積

三角形の面積

三角形 $\mathrm{ ABC }$ が右図のようなとき，$\angle \mathrm{ ACB } = \theta $ とする。このとき，三角形$\mathrm{ ABC } $ の面積を $S$ とすると，

S=12absin⁡θ\displaystyle S= \frac{1}{2} ab \sin \theta

証明

点 B\mathrm{ B } から直線 AC\mathrm{ AC }に下ろした垂線の足を HH とし， BC=h\mathrm{ BC } =h とする。

三角形 ABC\mathrm{ ABC } の面積を SS とすると，

S=12×(底辺)×(高さ)\displaystyle S= \frac{1}{2} \times (底辺) \times (高さ)

=12×b×h\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times h

また， 0∘<θ≦90∘0^{ \circ } \lt \theta \leqq 90^{ \circ } のとき〈図１〉

sin⁡θ=ha⇔h=asin⁡θ\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta

90∘<θ<180∘90^{ \circ } \lt \theta \lt 180^{ \circ } のとき〈図２〉，

sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin (180^{ \circ } - \theta )= \sin \theta なので，

sin⁡(180∘−θ)=ha⇔h=asin⁡θ\displaystyle \sin (180^{ \circ } - \theta )= \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta

よって，

S−12b⋅h\displaystyle S- \frac{1}{2} b \cdot h

=12b⋅asin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} b \cdot a \sin \theta

=12absin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} ab \sin \theta