正弦定理

三角形ABCの外接円の半径を $R$ とすると，

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\displaystyle \frac{a}{ \sin A } = \frac{b}{ \sin B} = \frac{c}{ \sin C} =2R

証明

三角形 ABC\mathrm{ ABC } の外接円の半径を RR とおき、点 B\mathrm{ B } を一端とする直径を BD\mathrm{ BD } とする。

( i ) A<90∘A \lt 90^{ \circ } のとき (図1)，

円周角の定理から，

∠BDC=∠BAC\angle \mathrm{ BDC } = \angle \mathrm{ BAC } ， ∠BCD=90∘\angle \mathrm{ BCD } =90^{ \circ }

よって，

a=2Rsin⁡Aa=2R \sin A

( ii ) A=90∘A=90^ { \circ } のとき (図2)，

a=2R=2Rsin⁡90∘a=2R=2R \sin 90^ { \circ }

=2Rsin⁡A=2R \sin A

( iii ) A>90∘A \gt 90^ { \circ } のとき (図3)，

∠BCD=90∘\angle \mathrm{ BCD } =90^ { \circ }

また，四角形 ABDC\mathrm{ ABDC } は円に内接するので，向かい合う角の和は 180∘180^ { \circ } であるから， ∠BDC=180∘−A\angle \mathrm{ BDC } =180^ { \circ } -A

よって，

a=2Rsin⁡(180∘−A)a=2R \sin (180^ { \circ } -A)

=2Rsin⁡A=2R \sin A

同様に， b=2Rsin⁡Bb=2R \sin B ， c=2Rsin⁡Cc=2R \sin C も成り立つので，

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\displaystyle \frac{a}{ \sin A } = \frac{b}{ \sin B} = \frac{c}{ \sin C} =2R

余弦定理

三角形 $\mathrm{ ABC }$ に関して，

 {      a2=b2+c2−2bccos⁡A   b2=c2+a2−2cacos⁡B c2=a2+b2−2abcos⁡C     \left\{    \begin{array}{l}      a^2 =b^2 + c^2 -2bc \cos A \\      b^2 =c^2 +a^2 -2ca \cos B  \\ c^2 =a^2 +b^2 -2ab \cos C    \end{array}  \right.

証明

右図のように，座標平面上に

A(0,0)\mathrm{ A } (0,0) ， B(c,0)\mathrm{ B } (c,0) ， C(bcos⁡A,bsin⁡A)\mathrm{ C } (b \cos A,b \sin A)

をとる。線分 BC\mathrm{ BC } の長さについて

BC2=(c−bcos⁡A)2+(bsin⁡A)2\mathrm{ BC^2 } =(c-b \cos A)^2 +(b \sin A)^2

=c2−2bccos⁡A+b2cos⁡2A+b2sin⁡2A=c^2 -2bc \cos A + b^2 \cos ^2 A +b^2 \sin ^2 A

=c2−2bccos⁡A+b2(cos⁡2A+sin⁡2A)=c^2 -2bc \cos A + b^2 ( \cos ^2 A + \sin ^2 A )

=c2−2bccos⁡A+b2=c^2 -2bc \cos A +b^2

BC=a\mathrm{ BC } =a なので，

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 =b^2 +c^2 -2bc \cos A

同様にして，   {     b2=c2+a2−2cacos⁡B  c2=a2+b2−2abcos⁡C     \left\{    \begin{array}{l}     b^2 =c^2 +a^2 -2ca \cos B \\     c^2 =a^2 +b^2 -2ab \cos C    \end{array}  \right.

も成り立つ。