【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 - 数学Ⅰ - 平方根の性質・2重根号

$( \sqrt {a^2} )^2 =a^2, \vert a \vert ^2 =(\pm a)^2 =a^2$ より，

$( \sqrt {a^2})^2 = \vert a \vert ^2$

$\sqrt {a^2} \geqq 0, \vert a \vert \geqq 0$ より，

$\sqrt {a^2} = \vert a \vert$

$a \gt b \gt 0$ とする。

$( \sqrt {a+b+2 \sqrt {ab}} )^2=a+b+2 \sqrt {ab}$ ，

$( \sqrt {a} + \sqrt {b} )^2 =( \sqrt {a})^2+2 \sqrt {a} \sqrt {b} +( \sqrt {b})^2 =a+b+2\sqrt {ab}$

より，

$(\sqrt {a+b+2 \sqrt {ab}})^2=(\sqrt {a} +\sqrt {b})^2$

$\sqrt {a+b+2 \sqrt {ab}} \gt 0,\sqrt {a}+\sqrt {b} \gt 0$ であるから，

$\sqrt {a+b+2 \sqrt {ab}} =\sqrt {a} + \sqrt {b}$.

同様に，

$(\sqrt {a+b-2 \sqrt {ab}})^2=a+b-2 \sqrt {ab}$ .

$( \sqrt {a}- \sqrt {b} )^2=(\sqrt {a})^2-2\sqrt {a} \sqrt {b} + (\sqrt {b})^2=a+b-2\sqrt {ab}$

より，

$(\sqrt {a+b-2\sqrt {ab}})^2=(\sqrt {a} - \sqrt {b})^2$ ,

$\sqrt {a+b-2 \sqrt {ab}} \gt 0$, $\sqrt {a} -\sqrt {b} \gt 0$ であるから，

$\sqrt {a+b-2 \sqrt {ab}}= \sqrt {a} - \sqrt {b}$.