【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 必要条件・十分条件・必要十分条件と同値

必要条件・十分条件

命題：「 $p$ ならば $q$ である」が真であるとき，

$q$ は $p$ であるための必要条件，

$p$ は $q$ であるための十分条件，

であるという。

説明

条件 $p$ ， $q$ を満たす要素の集合を $P$ ， $Q$ とする。このとき，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」（ $p$ ならば $q$ である）が真であるとき， $P \subset Q$ が成り立ち， $P$ は $Q$ の部分集合となり，このとき

$q$ は $p$ であるための必要条件であり，

$p$ は $q$ であるための十分条件である

という。

また，「 $p \Longrightarrow q$ 」が真であり，「 $q \Longrightarrow p$ 」も真であるとき

$p$ は $q$ であるための必要十分条件である，または

$q$ は $p$ であるための必要十分条件である，という。

このとき $p$ と $q$ は同値であるといい，

$p \Longleftrightarrow q$

と表す。

例として，

「猫であるならば哺乳類である」

という命題は真である。

集合で考えると、「猫」という集合は「哺乳類」という集合の部分集合になる。したがって，

「哺乳類である」は「猫である」ための必要条件で，

「猫である」は「哺乳類である」ための十分条件である。