円周角と中心角

【定義】

点 O\mathrm{O} を中心とする円 O\mathrm{O} の AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} と，AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} を除いた円周上の点 P\mathrm{P} に対して，

AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} に対する円周角：∠APB\angle \mathrm{APB}

AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} に対する中心角：∠AOB\angle \mathrm{AOB}

円周角と中心角の定理

【定理】

円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分である。
  • 1つの弧に対する円周角はすべて等しい。
  • 半円の弧に対する円周角は $90^{ \circ }$ である。

円周角の定理の逆

2点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AB}$ について同じ側にあるとき，$\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$ ならば，4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{B}$ は1つの円周上にある。

弧と円周角

  • 1つの円において，等しい弧に対する円周角は等しい。
  • 1つの円において，等しい円周角に対する弧は等しい。

円周角の定理の活用

円周角の定理や，半円の弧に対する円周角，円周角の定理の逆を用いて，円の接線の作図や円の中心を求めるような問題を解くことができる。