【定義・定理・公式】中学数学基本事項 - 3年生 - 関数 $y=ax^2$

2乗に比例する関数

【定義】

$y$ が $x$ の2乗に比例する：$y$ が $x$ の関数で，$x$ と $y$ の間に $y=ax^2$ ($a \neq 0$)の関係が成り立つこと

比例定数：$y=ax^2$ における $a$

$y=ax^2$ のグラフ

• 原点を通り，$y$ 軸について対象な曲線である。
• $a>0$ のとき，上に開いている(上に凸)。
• $a<0$ のとき，下に開いている(下に凸)。
• $a$ の絶対値が大きいほど，グラフの開き方は小さい。
• $y=ax^2$ のグラフと $y=-ax^2$ のグラフは，$x$ 軸について対称である。

関数 $y=ax^2$ の値の変化

関数 $y=ax^2$ では，$x$ の値が増加するにつれて，それに対応する $y$ の値は次のように変化する。

$a>0$ のとき

• $x<0$ のとき，$y$の値は減少する。
• $x>0$ のとき，$y$の値は増加する。
• $x=0$ のとき，$y=0$ となり，$y$ の値は減少から増加に変わる。このとき，$y$ は最小値をとる。

$a<0$ のとき

• $x<0$ のとき，$y$の値は増加する。
• $x>0$ のとき，$y$の値は減少する。
• $x=0$ のとき，$y=0$ となり，$y$ の値は増加から減少に変わる。このとき，$y$ 最大値をとる。

関数 $y=ax^2$ の活用

スタート直後の短距離走で，進む距離と時間，自動車の時速と制動距離(ブレーキが効き始めてから停止するまでの距離)などは，2乗に比例する関数といえる。

いろいろな関数

グラフが階段状になる関数や，$x$ の変域によって異なる式で表される関数がある。