【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 正規分布

連続型確率変数

【定義】

連続型確率変数：連続した値を取る確率変数

離散型確率変数：とびとびの値をとる確率変数

分布曲線：連続型確率変数 $X$ に対応させた曲線

確率密度関数：分布曲線 $y=f(x)$ における $f(x)$

連続型確率変数の期待値・分散・標準偏差

連続型確率変数 $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ で，その確率密度関数が $f(x)$ であるとき，$X$ の期待値 $m=E(X)$，分散 $V(X)$，標準偏差 $\sigma(X)$ を次の式で定める。

• $m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx$
• $V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx$
• $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx}$

【定理】

確率密度関数の性質

確率密度関数 $f(x)$ について

• 常に $f(x)\geqq0$
• $P(a\leqq X\leqq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$
• $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ のとき $\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1$

正規分布

【定義】

正規分布曲線・正規分布

$m$ が実数，$\sigma$ が正の実数，$e$ が自然対数の底のときの曲線

$y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

を正規分布曲線といい，連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が正規分布曲線の関数 $f(x)$ のとき，$X$ の確率分布を正規分布という。

このとき，$X$ は正規分布 $\boldsymbol{N(m,\sigma^2)}$ に従うといい，期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ は

$E(X)=m$

$\sigma(X)=\sigma$

標準正規分布

正規分布 $N(0,1)$ を標準正規分布という。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき，$Z=\frac{X-m}{\sigma}$ とおくと，確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ の確率密度関数 $f(z) は

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$

また，一般に確率 $P(0\leqq Z\leqq u)$ を $P(0\leqq Z\leqq u)=p(u)$ と表す。

標準化：正規分布を標準正規分布に直すこと

【定理】

正規分布に従う確率変数の分布曲線の性質

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき，$X$ の分布曲線 $y=f(x)$ は次のような性質をもつ。

• 直線 $x=m$ に関して対称であり，$y$ は $x=m$ で最大値を取る。
• $x$ 軸を漸近線とし，$x$ 軸と分布曲線の間の面積は1である。
• 標準偏差 $\sigma$ が大きくなると曲線の山は低くなって横に広がる。
• 標準偏差 $\sigma$ が小さくなると曲線の山は高くなって直線 $x=m$ の周りに集まる。

二項分布と正規分布

$q=1-p$ とする

• 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は，$n$ が大きいとき，近似的に正規分布 $N(np,npq)$ に従う。
• 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ に対し，$Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$ は，$n$ が大きいとき，近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。