連続型確率変数

【定義】

連続型確率変数：連続した値を取る確率変数

離散型確率変数：とびとびの値をとる確率変数

分布曲線：連続型確率変数 XX に対応させた曲線

確率密度関数：分布曲線 y=f(x)y=f(x) における f(x)f(x)

連続型確率変数の期待値・分散・標準偏差

連続型確率変数 XX のとる値の範囲が α≦X≦β\alpha\leqq X\leqq\beta で，その確率密度関数が f(x)f(x) であるとき，XX の期待値 m=E(X)m=E(X)，分散 V(X)V(X)，標準偏差 σ(X)\sigma(X) を次の式で定める。

  • $m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx$
  • $V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx$
  • $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx}$

【定理】

確率密度関数の性質

確率密度関数 f(x)f(x) について

  • 常に $f(x)\geqq0$
  • $P(a\leqq X\leqq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$
  • $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ のとき $\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1$

正規分布

【定義】

正規分布曲線・正規分布

mm が実数，σ\sigma が正の実数，ee が自然対数の底のときの曲線

$y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

を正規分布曲線といい，連続型確率変数 XX の確率密度関数が正規分布曲線の関数 f(x)f(x) のとき，XX の確率分布を正規分布という。

このとき，XX は正規分布 N(m,σ2)\boldsymbol{N(m,\sigma^2)} に従うといい，期待値 E(X)E(X) と標準偏差 σ(X)\sigma(X) は

$E(X)=m$

$\sigma(X)=\sigma$

標準正規分布

正規分布 N(0,1)N(0,1) を標準正規分布という。

確率変数 XX が正規分布 N(m,σ2)N(m,\sigma^2) に従うとき，Z=X−mσZ=\frac{X-m}{\sigma} とおくと，確率変数 ZZ は標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に従う。

標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に従う確率変数 ZZ の確率密度関数 $f(z) は

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$

また，一般に確率 P(0≦Z≦u)P(0\leqq Z\leqq u) を P(0≦Z≦u)=p(u)P(0\leqq Z\leqq u)=p(u) と表す。

標準化：正規分布を標準正規分布に直すこと

【定理】

正規分布に従う確率変数の分布曲線の性質

確率変数 XX が正規分布 N(m,σ2)N(m,\sigma^2) に従うとき，XX の分布曲線 y=f(x)y=f(x) は次のような性質をもつ。

  • 直線 $x=m$ に関して対称であり，$y$ は $x=m$ で最大値を取る。
  • $x$ 軸を漸近線とし，$x$ 軸と分布曲線の間の面積は1である。
  • 標準偏差 $\sigma$ が大きくなると曲線の山は低くなって横に広がる。
  • 標準偏差 $\sigma$ が小さくなると曲線の山は高くなって直線 $x=m$ の周りに集まる。

二項分布と正規分布

q=1−pq=1-p とする

  • 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は，$n$ が大きいとき，近似的に正規分布 $N(np,npq)$ に従う。
  • 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ に対し，$Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$ は，$n$ が大きいとき，近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。