【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 空間のベクトルの成分，内積

空間ベクトルの成分

【定義】

平面上の基本ベクトル： $\vec{e_1}=(1,0,0)$ ， $\vec{e_2}=(0,1,0)$ ， $\vec{e_3}=(0,0,1)$

基本ベクトル表示・成分表示

座標空間の原点を $\mathrm{O}$ とし，ベクトル $\vec{a}$ に対して $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ となる点 $\mathrm{A}$ をとり， $\mathrm{A}$ の座標を $(a_1,a_2,a_3)$ とするとき

基本ベクトル表示：$\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}$

成分表示：$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$

$a_1$ を $x$ 成分， $a_2$ を $y$ 成分， $a_3$ を $z$ 成分という。

成分表示の相等・大きさ・演算

相等

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ， $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ について

$\vec{a}=\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $a_1=b_1$ かつ $a_2=b_2$ かつ $a_3=b_3$

特に $\vec{a}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $a_1=a_2=a_3=0$

大きさ

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ に対して

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

演算

$k$ ， $l$ を実数とするとき

$(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
$(a_1,a_2,a_3)-(b_1,b_2,b_3)=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$
$k(a_1,a_2,a_3)=(ka_1,ka_2,ka_3)$
$k(a_1,a_2,a_3)+l(b_1,b_2,b_3)=(ka_1+lb_1,ka_2+lb_2,ka_3+lb_3)$

点の座標とベクトルの成分

2点 $\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)$ ， $\mathrm{B}(b_1,b_2,b_3)$ について

$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$

空間ベクトルの内積の定義

【定義】

内積( $\vec{a}\cdot\vec{b}$ )： $\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )としたとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

内積は実数であり， $\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

また， $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ， $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

であり，なす角 $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )に着目すると

$\cos\theta=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

内積と平行・垂直条件

$\vec{a}\neq\vec{0}$ ， $\vec{b}\neq\vec{0}$ ， $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ， $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ とする

平行条件：$\vec{a}/\!/\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$
(ただし，分母が $0$ のとき分子も $0$ )
垂直条件：$\vec{a}\perp\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$

内積の性質

【法則】

内積の演算法則

$k$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ ， $s$ を実数とする

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=k\vec{a}\cdot\vec{b}$
$(p\vec{a}+q\vec{b})\cdot(r\vec{c}+s\vec{d})=pr\vec{a}\cdot\vec{c}+ps\vec{a}\cdot\vec{d}+qr\vec{b}\cdot\vec{c}+qs\vec{b}\cdot\vec{d}$

ベクトルの大きさと内積

$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$
$-|\vec{a}||\vec{b}|\leqq\vec{a}\cdot\vec{b}\leqq|\vec{a}||\vec{b}|$