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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - ベクトル方程式

直線のベクトル方程式

直線上の任意の点 P(p⃗)\mathrm{P}(\vec{p}) について，ss，tt を実数の変数とする。

1定点と方向ベクトル

定点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a}) を通り，0⃗\vec{0} でないベクトル d⃗\vec{d} に平行な直線のベクトル方程式

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$

※d⃗\vec{d} を直線の方向ベクトル，tt を媒介変数という。

媒介変数表示

p⃗=(x,y)\vec{p}=(x,y)，a⃗=(x1,y1)\vec{a}=(x_1,y_1)，d⃗=(l,m)\vec{d}=(l,m) とすると

$\left \{ \begin{array}{l}x=x_1+lt\\y=y_1+mt \end{array} \right.$ 

2定点

異なる2点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a})，B(b⃗)\mathrm{B}(\vec{b}) を通る直線のベクトル方程式

$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$

$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ ( $s+t=1$ )

1定点と法線ベクトル

定点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a}) を通り，0⃗\vec{0} でないベクトル n⃗\vec{n} に垂直な直線のベクトル方程式

$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$

※n⃗\vec{n} を直線の法線ベクトルという。

※法線ベクトルについて次のことが成り立つ

円のベクトル方程式

OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a}，OB→=b⃗\overrightarrow{OB}=\vec{b}，OC→=c⃗\overrightarrow{OC}=\vec{c}，OP→=p⃗\overrightarrow{OP}=\vec{p} とし，P\mathrm{P} は円周上の任意の点とする。

中心と半径

中心 C\mathrm{C}，半径 rr の円のベクトル方程式

$|\vec{p}-\vec{c}|=r$

$(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2$

直径

線分 AB\mathrm{AB} を直径とする円のベクトル方程式

$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$

平面上の点の存在範囲

OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a}，OB→=b⃗\overrightarrow{OB}=\vec{b}，OP→=p⃗\overrightarrow{OP}=\vec{p} とし，a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} が1次独立で p⃗=sa⃗+tb⃗\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b} ( ss，tt は実数の変数) とする。