【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 位置ベクトル，ベクトルと図形

位置ベクトル

【定義】

位置ベクトル：原点を始点とするベクトル

位置ベクトルが $\vec{p}$ である点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P}(\vec{p})$ で表す。

また，2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ に対し，ベクトル $\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}$ と表される。

分点・重心の位置ベクトル

分点の位置ベクトル

2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ と外分する点 $\mathrm{Q}(\vec{q})$，および，線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{R}(\vec{r})$ は

• $\vec{p}=\displaystyle\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
• $\vec{q}=\displaystyle\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$
• $\vec{r}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

三角形の重心の位置ベクトル

3点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$，$\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は

$\vec{g}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

共点条件(異なる3本以上の直線が1点で交わるための条件)

点の一致は位置ベクトルの一致から示す。

例)

3点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ の一致は $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR}$ から示す。

共線条件(異なる3個以上の点が同じ直線上にあるための条件)

• 点 $\mathrm{C}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある
• 点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，$s+t=1$ となる実数 $s$，$t$ がある