1次独立と1次従属

【定義】

1次結合

nn 個のベクトル a1⃗\vec{a_1}，a2⃗\vec{a_2}，……，an⃗\vec{a_n} と実数 x1x_1，x2x_2，……，xんx_ん を用いて，x1a1⃗+x2a2⃗+……+xnan⃗x_1\vec{a_1}+x_2\vec{a_2}+……+x_n\vec{a_n} の形に表されたベクトルを a1⃗\vec{a_1}，a2⃗\vec{a_2}，……，an⃗\vec{a_n} の1次結合という。

1次独立

a1⃗\vec{a_1}，a2⃗\vec{a_2}，……，an⃗\vec{a_n} の1次結合について

$x_1\vec{a_1}+x_2\vec{a_2}+……+x_n\vec{a_n}=\vec{0}$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2=……=x_n=0$

が成り立つとき，nn 個のベクトル a1⃗\vec{a_1}，a2⃗\vec{a_2}，……，an⃗\vec{a_n} は1次独立であるという。

1次従属

1次独立でないベクトルは1次従属である。

平面・空間ベクトルの1次独立と1次従属

平面ベクトル

平面上で a⃗≠0⃗\vec{a}\neq\vec{0}，b⃗≠0⃗\vec{b}\neq\vec{0}，a⃗∦b⃗\vec{a}\nparallel\vec{b} のとき，ss，tt を実数とすると

  • 任意のベクトル $\vec{p}$ は $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の形にただ1通りに表される。
  • $s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $s=t=0$

が成り立つので，2つのベクトル a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} について

$\vec{a}$，$\vec{b}$ が1次独立 $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$

2つのベクトル a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} が1次独立であるとき，3つ目のベクトル c⃗\vec{c} をどのようにとっても，a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c} は1次従属になる。

空間ベクトル

空間において同じ平面上にないベクトル a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c} に対して，ss，tt，uu を実数とすると

  • 任意のベクトル $\vec{p}$ は $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$ の形にただ1通りに表される。
  • $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $s=t=u=0$

が成り立つので，3つのベクトル a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，\vec{c} について

$\vec{a}$，$\vec{b}$，\vec{c} が1次独立 $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$，$\vec{b}$，\vec{c} が同一平面上にない

3つのベクトル a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c} が1次独立であるとき，4つ目のベクトル d⃗\vec{d} をどのようにとっても，a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c}，d⃗\vec{d} は1次従属になる。

まとめ

平面上では

  • 1次独立なベクトルを，最大で2つ定めることができる。
  • 任意のベクトルは，1次独立な2つのベクトルの1次結合で表される。

空間では

  • 1次独立なベクトルを，最大で3つ定めることができる。
  • 任意のベクトルは，1次独立な3つのベクトルの1次結合で表される。