【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 【補足】1次独立と1次従属

2018-10-14

1次独立と1次従属

【定義】

1次結合

$n$ 個のベクトル $\vec{a_1}$，$\vec{a_2}$，……，$\vec{a_n}$ と実数 $x_1$，$x_2$，……，$x_ん$ を用いて，$x_1\vec{a_1}+x_2\vec{a_2}+……+x_n\vec{a_n}$ の形に表されたベクトルを $\vec{a_1}$，$\vec{a_2}$，……，$\vec{a_n}$ の1次結合という。

1次独立

$\vec{a_1}$，$\vec{a_2}$，……，$\vec{a_n}$ の1次結合について

$x_1\vec{a_1}+x_2\vec{a_2}+……+x_n\vec{a_n}=\vec{0}$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2=……=x_n=0$

が成り立つとき，$n$ 個のベクトル $\vec{a_1}$，$\vec{a_2}$，……，$\vec{a_n}$ は1次独立であるという。

1次従属

1次独立でないベクトルは1次従属である。

平面・空間ベクトルの1次独立と1次従属

平面ベクトル

平面上で $\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$ のとき，$s$，$t$ を実数とすると

• 任意のベクトル $\vec{p}$ は $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の形にただ1通りに表される。
• $s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $s=t=0$

が成り立つので，2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ について

$\vec{a}$，$\vec{b}$ が1次独立 $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$

2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ が1次独立であるとき，3つ目のベクトル $\vec{c}$ をどのようにとっても，$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ は1次従属になる。

空間ベクトル

空間において同じ平面上にないベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ に対して，$s$，$t$，$u$ を実数とすると

• 任意のベクトル $\vec{p}$ は $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$ の形にただ1通りに表される。
• $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $s=t=u=0$

が成り立つので，3つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，\vec{c} について

$\vec{a}$，$\vec{b}$，\vec{c} が1次独立 $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$，$\vec{b}$，\vec{c} が同一平面上にない

3つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ が1次独立であるとき，4つ目のベクトル $\vec{d}$ をどのようにとっても，$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ は1次従属になる。

まとめ

平面上では

• 1次独立なベクトルを，最大で2つ定めることができる。
• 任意のベクトルは，1次独立な2つのベクトルの1次結合で表される。

空間では

• 1次独立なベクトルを，最大で3つ定めることができる。
• 任意のベクトルは，1次独立な3つのベクトルの1次結合で表される。