【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 【補足】合同式

合同式は，学習指導要領の範囲外の内容であるが，整数の問題を処理するときにはとても有用であるので，ここで扱っておく。

以下，$m$ は正の整数，$a$，$b$ は整数とする。

合同式

【定義】

$a$，$b$ が $m$ を法として合同：$a-b$ が $m$ の倍数であること

合同式：$a$，$b$ が $m$ を法として合同を $a \equiv b ( \bmod m)$ と表したもの

※$a$ と $b$ が $m$ を法として合同であるとき，次の関係が成り立つ。

$a \equiv b ( \bmod m)$

$\Leftrightarrow$ $a-b$ が $m$ の倍数 [$a-b=mk$ ( $k$ は整数)] ：定義

$\Leftrightarrow$ ( $a$ を $m$ で割った余り) $=$ ( $b$ を $m$ で割った余り)

合同式の性質

【定理】

合同式の性質Ⅰ

• $a \equiv a ( \bmod m)$
• $a \equiv b ( \bmod m)$ のとき $b \equiv a ( \bmod m)$
• $a \equiv b ( \bmod m)$，$b \equiv c ( \bmod m)$ のとき $a \equiv c ( \bmod m)$

※$a \equiv b ( \bmod m)$，$b \equiv c ( \bmod m)$ を $a \equiv b \equiv c ( \bmod m)$ と書いても良い。

合同式の性質Ⅱ

$a \equiv b ( \bmod m)$，$c \equiv d ( \bmod m)$ のとき，次のことが成り立つ。

• $a+c \equiv b+d ( \bmod m)$
• $a-c \equiv b-d ( \bmod m)$
• $ac \equiv bd ( \bmod m)$
• 自然数 $m$ に対し $a^n \equiv b^n ( \bmod m)$