【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 円の基本性質

円周角と弧

【定理】

円周角の定理

• 1つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である。
• 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

円周角の定理の逆

4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ について，$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して同じ側にあって $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$ が成り立つならば，4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ は1つの円周上にある。

円周角と弧

1つの円，または半径の等しい円において

• 等しい円周角に対する弧の長さは等しい。
• 長さの等しい弧に対する円周角は等しい。

円の内部・外部の点と角の大小

円の周上に3点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{B}$ があり，点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{Q}$ と同じ側にあるとき

• 点 $\mathrm{P}$ が円の周上にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$
• 点 $\mathrm{P}$ が円の内部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} > \angle \mathrm{AQB}$
• 点 $\mathrm{P}$ が円の外部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}$

円に接する四角形

【定義】

多角形が円に内接する：多角形のすべての頂点が1つの円周上にあること

外接円：多角形のすべての頂点を通る円

【定理】

円に内接する四角形

四角形が円に内接するとき

• 四角形の対角の和は $180^{ \circ }$ である。
• 四角形の外角は，それと隣り合う内角の対角に等しい。

円に内接する四角形の逆

• 1組の対角の和が $180^{ \circ }$ である。
• 1つの外角が，それと隣り合う内角の対角に等しい。

これらのどちらかが成り立つ四角形は円に内接する。

※上記2つの定理を合わせて

円に内接する四角形 $\Leftrightarrow$ $(内角)+(対角)=180^{ \circ }$ または $(内角)=(対角の外角)$