【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 三角形のいろいろな定理

【定理】

チェバの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の3頂点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ と，三角形の辺上にもその延長上にもない点 $\mathrm{O}$ を結ぶ直線が，辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長と交わるとき，交点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ とすると

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

チェバの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺上にあるとする。このとき，$\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$ が交わり，かつ

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば，3直線 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$ は1点で交わる。

メネラウスの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長が，三角形の頂点を通らない1つの直線とそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ で交わるとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

メネラウスの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上に，それぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺の延長上にあるとする。このとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば，3点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ は1つの直線上にある。

三角形の3辺の長さの性質

1つの三角形において

• 2辺の長さの和は，他の1辺の長さより大きい
• 2辺の長さの差は，他の1辺の長さより小さい。

三角形の成立条件

正の数 $a$，$b$，$c$ に対して

$|b-c|<a<b+c \Leftrightarrow 3辺の長さがa，b，c である三角形が存在する

三角形の辺と角の大小関係

1つの三角形において

• 大きい辺に向かい合う角は，小さい辺に向かい合う各より大きい。
• 大きい角に向かい合う辺は，小さい角に向かい合う辺より大きい。

すなわち $\mathrm{AB} < \mathrm{AC} \Leftrightarrow \angle \mathrm{C} < \angle \mathrm{B}$