【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 確率と種々の定理

2018-09-23

事象と確率

【定義】

試行：同じ条件のもとで繰り返すことができる実験や観測

事象：試行の結果として起こる事柄

全事象：1つの試行において起こりうる結果全体を集合 $U$ で表すとき，$U$ 自身で表される事象

根元事象：$U$ のただ1つの要素からなる集合で表される事象

空事象：空集合 $\varnothing$ で表される決して起こらない事象

事象 $\boldsymbol{A}$ の確率( $\boldsymbol{P(A)}$ )：1つの試行において，ある事象 $A$ の起こることが期待される割合

※全事象 $U$ のどの根元事象も同様に確からしいとき

$P(A)= \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{事象 A の起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}$

$A$ と $B$ の積事象( $A \cap B$ )：$A$ と $B$ がともに起こる事象

$A$ と $B$ の和事象( $A \cup B$ )：$A$ または $B$ が起こる事象

$A$ と $B$ が互いに排反(事象)：2つの事象 $A$，$B$ が決して同時に起こらない，すなわち，$A \cap B= \varnothing$ であること

確率の基本性質

【定理】

確率の基本性質

どのような事象 $A$ についても $0 \leqq P(A) \leqq 1$

特に，$P( \varnothing )=0$，$P(U)=1$

確率の加法定理

事象 $A$，$B$ が互いには違反であるとき

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

一般の和事象の確率

3つの事象 $A$，$B$，$C$ について

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)$

余事象とその確率

【定義】

余事象( $\overline{A}$ )：事象 $A$ に対して，$A$ が起こらない事象

※余事象の確率は $P( \overline{A} ) =1-P(A)$