速度と道のり

直線運動

数直線状を運動する点 P\mathrm{P} の速度 vv を時刻 tt の関数と見て v=f(t)v=f(t) とする。また t=at=a のときの P\mathrm{P} の座標を kk とする。

  • $t=b$ における $\mathrm{P}$ の座標 $x$ は $x=k+\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt$
  • $t=a$ から $t=b$ までの $\mathrm{P}$ の位置の変化量 $s$ は $s=\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt$
  • $t=a$ から $t=b$ までの $\mathrm{P}$ の道のり $l$ は $l=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(t)|dt$

平面運動

点 P\mathrm{P} が平面上の曲線 y=f(t)y=f(t)，y=g(t)y=g(t) ( tt は時刻)上を動くときt=αt=\alpha から t=βt=\beta までの間に点 P\mathrm{P} が移動した道のり ll は

  • $\displaystyle{l=\int_{\alpha}^{\beta}|\vec{v}|dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$

曲線の長さ

媒介変数

曲線 x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t) ( α≦x≦β\alpha\leqq x\leqq\beta )の長さ LL は

  • $\displaystyle{L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}dt}$

直交座標

  • $\displaystyle{L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx}$