【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 定積分とその基本性質

定積分とその基本性質

【定義】

ある区間で連続な関数 $f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とするとき，区間に属する2つの実数 $a$，$b$ に対して

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(a)-F(b)$

【定理】

$k$，$l$ を定数とする。

• 定積分の値は積分変数の文字に無関係：$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt$
• 定数倍：$\displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$
• 和：$\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx$
• 差：$\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}dx=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx-\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx$
• $\displaystyle\int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}dx=k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+l\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx$
• $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=-\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx$
• $\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0$
• $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx$

絶対値のついた関数の定積分

$a\leqq x\leqq c$ のとき $f(x)\geqq 0$，$c\leqq x\leqq b$ のとき $f(x)\leqq 0$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|dx=\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}\{-f(x)\}dx$