【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 無限級数

無限級数

【定義】

級数：数列の各項を順に加法記号(+)で結んだ式

無限級数：無限数列 $\{a_n\}$ の級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n+\cdots\cdots$

無限等比級数：無限等比数列 $\{ar^{n-1}\}$ の級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdots\cdots+ar^{n-1}+\cdots\cdots$

無限級数の収束・発散

無限数列 $\{a_n\}$ の部分和を $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k$，部分和の数列を $\{S_n\}$ とすると，無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ について，

数列 $\{S_n\}$ が収束して，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=S$ のとき，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は収束し，和は $S$ である。

数列 $\{S_n\}$ が発散するとき，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は発散する。

無限等比級数

無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ について

$a\neq 0$ のとき

$|r|<1$ ならば収束し，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}$

$|r|\geqq 1$ ならば発散する

$a=0$ のとき

常に収束し，その和は $0$

循環小数を分数で表す

循環小数は初項と公比が$a=r=0.(循環節)$ の無限等比級数と考えることができるため，収束の公式 $\displaystyle\frac{a}{1-r}$ を使えば分数で表すことができる。

無限級数の和の性質

【定理】

無限級数の和の性質

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ が収束する無限級数で，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=T$，$k$，$l$ は定数とする。

• 定数倍：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS$
• 和：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=S+T$
• 差：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)=S-T$
• $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(ka_n+lb_n)=kS+lT$

無限級数の収束・発散条件

• 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束する $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$
• 数列 $\{a_n\}$ が $0$ に収束しない $\Rightarrow$ 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は発散する

※上記の2つは互いに他の待遇であり，ともに逆は不成立。