極座標

【定義】

極座標，極，始線，偏角

平面上に点 O\mathrm{O} と半直線 OX\mathrm{OX} を定めると，平面上の任意の点 P\mathrm{P} の位置は，OP\mathrm{OP} の長さ rr と，OX\mathrm{OX} から半直線 OP\mathrm{OP} へ測った角 θ\theta で決まる。ただし，θ\theta は弧度法で表した一般角である。このとき，2つの数の組 (r,θ)(r,\theta) を点 P\mathrm{P} の極座標といい，定点 O\mathrm{O} を極，半直線 OX\mathrm{OX} を始線，角 θ\theta を偏角という。

※極 $\mathrm{O}$ の極座標は $\theta$ を任意の数として $(0,\theta)$ で定める。

※極座標では $(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ( $n$ は整数)は同じ点を表すため，ある点 $\mathrm{P}$ の極座標は1通りに定まらないが，極 $\mathrm{O}$ 以外の点に対して $0\leqq\theta <2\pi$ と制限すると $\mathrm{P}$ の極座標は1通りに定まる。

極座標と直交座標

原点 O\mathrm{O} を極，xx 軸の正の部分を始線としたとき，点 P\mathrm{P} の直交座標を (x,y)(x,y)，極座標を (r,θ)(r,\theta) とすると

$\left \{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{array} \right.$

$\left \{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ r\neq 0 のとき \cos\theta=\displaystyle\frac{x}{r},\sin\theta=\displaystyle\frac{y}{r} \end{array} \right.$

2点間の距離，三角形の面積

O\mathrm{O} を極とする極座標で表された2点 A(r1,θ1)\mathrm{A}(r_1,\theta_1)，B(r2,θ2)\mathrm{B}(r_2,\theta_2) ( r1>0r_1>0，r2>0r_2>0，θ2≧θ1\theta_2\geqq\theta_1 )に対して

  • 2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 間の距離：$\mathrm{AB}=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}$
  • 三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$：$S=\displaystyle\frac{1}{2}r_1r_2|\sin(\theta_2-\theta_1)|$

円，直線の極方程式

  • 中心が極 $\mathrm{O}$，半径が $a$ の円：$r=a$
  • 中心が $(a,0)$，半径が $a$ の円：$r=2a\cos\theta$
  • 中心が $(r_0,\theta_0)$，半径が $a$ の円：$r^2+r_0^2-2rr_0\cos(\theta-\theta_0)=a^2$
  • 極 $\mathrm{O}$ を通り，始線と $\alpha$ の角をなす直線：$\theta=\alpha$
  • 点 $\mathrm{A}(a,\alpha)$ を通り，$\mathrm{OA}$ に垂直な直線：$r\cos(\theta-\alpha)=a$ ( $a>0$ )

※極方程式では $r<0$ の場合も考える。$r>0$ のとき，$(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ は同じ点である。