2次曲線と直線の共有点

2次曲線 F(x,y)=0F(x,y)=0 と直線 ax+by+c=0ax+by+c=0 について，2次曲線と直線の共有点の座標は，2式の連立方程式の実数解で与えられる。

2式から1変数を消去して得られる方程式が2次方程式の場合，その判別式を DD とすると，

  • $D>0$ $\Leftrightarrow$ 2点で交わる
  • $D=0$ $\Leftrightarrow$ 1点で接する
  • $D<0$ $\Leftrightarrow$ 共有点がない

2式から1変数を消去して得られる方程式が1次方程式の場合，1点で交わる。

2次曲線の接線

曲線上の点 (x1,y1)(x_1,y_1) における接線の方程式( a>0a>0，b>0b>0 )

  • 放物線 $y^2=4px$：$y_1y=2p(x+x_1)$
  • 放物線 $x^2=4py$：$x_1x=2p(y+y_1)$
  • 楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1}$
  • 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1}$
  • 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=-1}$

以上の2次曲線を xx 軸方向に x0x_0，yy 軸方向に y0y_0 だけ平行移動した曲線上の点 (x1,y1)(x_1,y_1) における接線の方程式は，各接線の方程式において

  • $x→x-x_0$
  • $x_1→x_1-x_0$
  • $y→y-y_0$
  • $y_1→y_1-y_0$

と置き換えればよい。

2次曲線と離心率 ee

【定義】

離心率

楕円・双曲線も，放物線と同じように，定点 F\mathrm{F} と定直線 ll からの距離の比が一定である点の軌跡として定義できる。

すなわち，点 P\mathrm{P} から ll に引いた垂線を PH\mathrm{PH} とするとき，FP:PH=e:1FP:PH=e:1 ( ee は正の定数)を満たす点 P\mathrm{P} の軌跡は，F\mathrm{F} を1つの焦点とする2次曲線で，ll を準線，ee を2次曲線の離心率という。

【定理】

離心率の性質

2次曲線は離心率 ee によって分類される。

  • $0<e<1$：楕円
  • $e=1$：放物線
  • $1<e$：双曲線