【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 2次曲線と直線

2次曲線と直線の共有点

2次曲線 $F(x,y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ について，2次曲線と直線の共有点の座標は，2式の連立方程式の実数解で与えられる。

2式から1変数を消去して得られる方程式が2次方程式の場合，その判別式を $D$ とすると，

• $D>0$ $\Leftrightarrow$ 2点で交わる
• $D=0$ $\Leftrightarrow$ 1点で接する
• $D<0$ $\Leftrightarrow$ 共有点がない

2式から1変数を消去して得られる方程式が1次方程式の場合，1点で交わる。

2次曲線の接線

曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式( $a>0$，$b>0$ )

• 放物線 $y^2=4px$：$y_1y=2p(x+x_1)$
• 放物線 $x^2=4py$：$x_1x=2p(y+y_1)$
• 楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1}$
• 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1}$
• 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$：$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=-1}$

以上の2次曲線を $x$ 軸方向に $x_0$，$y$ 軸方向に $y_0$ だけ平行移動した曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は，各接線の方程式において

• $x→x-x_0$
• $x_1→x_1-x_0$
• $y→y-y_0$
• $y_1→y_1-y_0$

と置き換えればよい。

2次曲線と離心率 $e$

【定義】

離心率

楕円・双曲線も，放物線と同じように，定点 $\mathrm{F}$ と定直線 $l$ からの距離の比が一定である点の軌跡として定義できる。

すなわち，点 $\mathrm{P}$ から $l$ に引いた垂線を $\mathrm{PH}$ とするとき，$FP:PH=e:1$ ( $e$ は正の定数)を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は，$\mathrm{F}$ を1つの焦点とする2次曲線で，$l$ を準線，$e$ を2次曲線の離心率という。

【定理】

離心率の性質

2次曲線は離心率 $e$ によって分類される。

• $0<e<1$：楕円
• $e=1$：放物線
• $1<e$：双曲線