関数の増減

ある区間において

  • 常に $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ はその区間で増加する
  • 常に $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ はその区間で減少する
  • 常に $f'(x)=0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ はその区間で定数である

※区間の両端における微分係数が $0$ の場合，その点を含めて増加，減少するとしてよい。

※増加，減少を単調に増加，単調に減少ということがある。

関数の極大・極小

【定義】

極大，極大値

f′(x)f'(x) の符号が x=ax=a の前後で正から負に変わるとき，f(x)f(x) は x=ax=a で極大になるといい，f(a)f(a) を極大値という。

極小，極小値

f′(x)f'(x) の符号が x=ax=a の前後で負から正に変わるとき，f(x)f(x) は x=ax=a で極小になるといい，f(a)f(a) を極小値という。

極値：極大値と極小値をまとめたもの

※「関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値を取る $\Rightarrow$ $f'(a)=0$」は成立するが，その逆は成立するとは限らない。

関数の最大値・最小値

区間 a≦x≦ba \leqq x \leqq b で定義された関数の最大値，最小値は，この区間での関数の極値と区間の両端での関数の値を比べて求める。

関数の定義域が端を含まない区間である場合，最大値・最小値がないことがある。

3次関数の性質

【定義】

n\boldsymbol{n} 次曲線：nn 次関数のグラフ

【定理】

3次関数の性質

3次関数 y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d について

  • 極値をもつ条件：方程式 $y'=3ax^2+2bx+c=0$ の判別式 $D$ が $$\frac{D}{4}=b^2-3ac>0$
  • 極値をもつ $\Rightarrow$ 「極大値と極小値を1つずつもつ」かつ「(極大値) $>$ (極小値)」
  • $a>0$ $\Rightarrow$ (極大値を与える $x$ の値) $<$ (極小値を与える $x$ の値)
  • $a<0$ $\Rightarrow$ (極小値を与える $x$ の値) $<$ (極大値を与える $x$ の値)
  • $x= \alpha,\beta$ で極値をとるとき，点 $\left( \frac{\alpha + \beta}{2} , f \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right)$ に関して点対称である。