【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 微分係数と導関数

平均変化率

【定義】

関数 $y=f(x)$ において，$y$ の変化量 $f(b)-f(a)$ の $x$ の変化量 $b-a$ に対する割合 $\boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ ( $a \neq b$ )を，$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率という。

極限値と微分係数

極限値

関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき，$f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づく場合，この $\alpha$ を $f(x)$ の極限値という。

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= \alpha$

$x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha$

微分係数

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数(変化率) $f'(a)$ は

$f'(a)= \displaystyle \lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$f'(a)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

微分係数の図形的な意味

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A} (a,f(a))$ における曲線の接線の傾きは，関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ で表される。

導関数

【定義】

導関数

関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は

$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

※導関数の表記は，$f'(x)$，$y'$，$\frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx} f(x)$ 等を用いる。

$\boldsymbol{x}$ の増分( $\boldsymbol{\Delta x}$ )：導関数の定義における $h$

$\boldsymbol{y}$ の増分( $\boldsymbol{\Delta y}$ )：導関数の定義における $f(x+h)-f(x)$

微分する：関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めること

関数 $y=x^n$ の導関数は $y'=nx^{n-1}$ ( $n$ は正の整数)

定数関数 $y=c$ の導関数は $y'=0$

導関数の公式

【定理】

導関数の公式

$k$，$l$ を定数とする

• 定数倍：$y=kf(x)$ $\Rightarrow$ $y'=kf'(x)$
• 和：$y=f(x)+g(x)$ $\Rightarrow$ $y'=f'(x)+g'(x)$
• 差：$y=f(x)-g(x)$ $\Rightarrow$ $y'=f'(x)-g'(x)$
• $y=kf(x)+lg(x)$ $\Rightarrow$ $y'=kf'(x)+lg'(x)$

接線の方程式

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A} (a,f(a))$ における接線について

• 接線の傾き：$f(a)$
• 接線の方程式：$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

$\mathrm{A}$ をこの接線の接点という。