【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 指数関数

指数の定義と指数法則

【定義】

$a \neq 0$ で，$n$ が正の整数のとき

• $a^0=1$
• $a^{-n}= \frac{1}{a^n}$ 特に $a^{-1}= \frac{1}{a}$

【法則】

指数法則

$a \neq 0$，$b \neq 0$ で，$m$，$n$ が整数のとき

• $a^ma^n=a^{m+n}$
• $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^nb^n$
• $\left( \displaystyle \frac{a}{b} \right)^n= \displaystyle \frac{a^n}{b^n}$

累乗根

【定義】

$\boldsymbol{a}$ の $\boldsymbol{n}$ 乗根：$n$ を正の整数とするとき，$n$ 乗すると $a$ になる数

累乗根：2乗根，3乗根，……をまとめたもの

• $n$ が奇数のとき：$a$ の正負に関係なくただ1つあり，$\sqrt[n]{a}$ で表す。
• $n$ が偶数のとき：$a>0$ なら正負2つあり，$\pm \sqrt[n]{a}$ で表す。$a<0$ なら実数の範囲には存在しない。
• $\sqrt[n]{0} =0$

【定理】

累乗根の性質

$a>0$，$b>0$ で，$m$，$n$，$p$ が正の整数のとき

• $( \sqrt[n]{a} )^n =a$
• $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
• $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• $( \sqrt[n]{a} )^m = \sqrt[n]{a^m}$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
• $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$

有理数の指数

【定義】

$a>0$ で，$m$，$n$ が正の整数，$r$ が正の有理数のとき

• $a^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{a^m} =( \sqrt[n]{a} )^m$ 特に $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
• $a^{-r} = \displaystyle \frac{1}{a^r}$

【法則】

指数法則

$a>0$，$b>0$ で，$r$，$s$ が有理数のとき

• $a^ra^s=a^{r+s}$
• $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
• $(a^r)^s=a^{rs}$
• $(ab)^r=a^rb^r$
• $\left( \displaystyle \frac{a}{b} \right)^r = \displaystyle \frac{a^r}{b^r}$

指数関数

【定義】

$a$ を底とする $x$ の指数関数：$y=a^x$ ( $a>0$，$a \neq 1$ )

増加関数：$x$ の値が増加すると $y$ の値が増加する関数

減少関数：$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する関数

指数関数のグラフ

指数関数のグラフの特徴・性質

• 曲線
• 点 $(0,1)$，$(1,a)$ を通る
• $x$ 軸が漸近線
• $0<a<1$ のとき減少関数：$p<q \Leftrightarrow a^p<a^q$
• $1<a$ のとき増加関数：$p<q \Leftrightarrow a^p>a^q$
• 定義域は実数全体，値域は正の数全体

指数方程式・指数不等式

【定義】

指数方程式：指数関数を含む方程式

指数不等式：指数関数を含む不等式

底を $a$ ( $a>0$，$a \neq 1$ )，$b$ を定数とすると

• 方程式 $a^x=a^b$ の解は $x=b$
• 不等式 $a^x>a^b$ の解は $0<a<1$ のとき $x<b$，$1<a$ のとき $x>b$
• 不等式 $a^x<a^b$ の解は $0<a<1$ のとき $x>b$，$1<a$ のとき $x<b$