【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 加法定理

加法定理と2倍角，半角，3倍角，積和，和積の公式

【定理】

加法定理

• $\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos ( \alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan ( \alpha \pm \beta )= \displaystyle \frac{\tan \alpha \pm \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

2倍角の公式

• $\sin 2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha =1-2 \sin^2 \alpha =2 \cos^2 \alpha -1$
• $\tan 2 \alpha = \displaystyle \frac{2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}$

半角の公式

• $\sin^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{2}$
• $\cos^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{1+ \cos \alpha}{2}$
• $\tan^2 \displaystyle \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{1+ \cos \alpha}$

3倍角の公式

• $\sin 3 \alpha = -4 \sin^3 \alpha +3 \sin \alpha$
• $\cos 3 \alpha = 4 \cos^3 \alpha -3 \cos \alpha$
• $\tan 3 \alpha = \displaystyle \frac{\tan^3 -3 \tan \alpha}{3 \tan^2 \alpha -1}$

積和の公式

• $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \sin ( \alpha + \beta )+ \sin (\alpha - \beta ) \}$
• $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \sin ( \alpha + \beta )- \sin (\alpha - \beta ) \}$
• $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \cos ( \alpha + \beta )+ \cos (\alpha - \beta ) \}$
• $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2} \{ \cos ( \alpha + \beta )- \cos (\alpha - \beta ) \}$

和積の公式

• $\sin A+ \sin B=2 \sin \displaystyle \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
• $\sin A- \sin B=2 \cos \displaystyle \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$
• $\cos A+ \cos B=2 \cos \displaystyle \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
• $\cos A+ \cos B=-2 \sin \displaystyle \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

2直線のなす角

交わる2直線 $y=m_1x+n_1$，$y=m_2x+n_2$ が垂直でないとき，この2直線のなす鋭角を $\theta$ とすると

$\tan \theta = \displaystyle \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$

三角関数の合成

【定理】

三角関数の合成

$a \sin \theta +b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin ( \theta + \alpha )$

ただし $\sin \alpha = \displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos \alpha = \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$