【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 不等式の表す領域

2018-10-11

図形と領域

直線 $l:y=mx+n$ に対して

• 不等式 $y>mx+n$ の表す領域：直線 $l$ の上側の部分
• 不等式 $y<mx+n$ の表す領域：直線 $l$ の下側の部分

曲線 $C:y=f(x)$ に対して

• 不等式 $y>f(x)$ の表す領域：曲線 $C$ の上側の部分
• 不等式 $y<f(x)$ の表す領域：曲線 $C$ の下側の部分

円 $O:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ に対して

• 不等式 $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$ の表す領域：円 $O$ の内部
• 不等式 $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2$ の表す領域：円 $O$ の外部

全てにおいて，不等号が $>$，$<$ のときは境界線を含まず，$\geqq$，$\leqq$ のときは境界線を含む。

領域を利用した証明法

一般に，2つの条件 $p$，$q$ について，条件 $p$，$q$ を満たすもの全体の集合をそれぞれ $P$，$Q$ とすると

「 $p$ $\Rightarrow$ $q$ が真である」 $\Leftrightarrow$ $P \subset Q$

条件 $p$，$q$ が $x$，$y$ の不等式で表される場合に，上のことを用いて，$p$ $\Rightarrow$ $q$ が真であることを証明することができる。