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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 円，円と直線，2つの円

円の方程式

基本形

中心が $(a,b)$，半径が $r$ の円の方程式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

中心が原点，半径が $r$ の円の方程式：$x^2+y^2=r^2$

一般形

$x^2+y^2+lx+my+n=0$

円と直線の位置関係

半径 rr の円と直線 ll について，2つの方程式を連立し，yy を消去してできる xx の2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の判別式を D=b2−4acD=b^2-4ac，円の中心 O\mathrm{O} と直線 ll の距離を dd とする。

$D$ の符号 $D>0$ $D=0$ $D<0$
$d$ と $r$ の大小 $d<r$ $d=r$ $d>r$
$ax^2+bx+c=0$ の
実数解		 異なる2つの実数解
$x= \alpha,\beta$		 重解
$x= \alpha$		 実数解はない
共有点の個数 2個 1個 0個
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点をもたない

円の接線の方程式

円 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点 P(x1,y1)\mathrm{P} (x_1,y_1) における接線の方程式は

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

特に，円の中心が原点のとき

$x_1x+y_1y=r^2$

2つの円の位置関係

半径がそれぞれ rr，r′r' ( r>r′r>r' )である2つの円の中心間の距離を dd とする。

一方が他方の
内部にある		 内接する 2点で交わる 外接する 一方が他方の
外部にある
$d<r-r'$ $d=r-r'$ $r-r'<d<r+r'$ $d=r+r'$ $r+r'<d$

※2つの円が接する(内接，外接する)とき，この共有点を接点といい，接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。

2つの円の交点を通る円，直線

異なる2点 P\mathrm{P}，Q\mathrm{Q} で交わる2つの円 O1:x2+y2+l1x+m1y+n1=0O_1:x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0，O2:x2+y2+l2x+m2y+n2=0O_2:x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0 に対し，kk を定数とすると，方程式 k(x2+y2+l1x+m1y+n1)+x2+y2+l2x+m2y+n2=0k(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0 は，

$k \neq -1$ のとき：2つの交点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ を通る円 $O_1$ 以外の円

$k=-1$ のとき：2つの交点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ を通る直線

を表す。