【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 複素数

2018-09-27

複素数の基本

$a$，$b$，$c$，$d$ を実数とする。

【定義】

虚数単位 $i$：$i^2=-1$

複素数：$a+bi$ の形で表される数

純虚数：$bi$ ( $b \neq 0$ ) の形で表される数

実部：複素数 $a+bi$ における $a$

虚部：複素数 $a+bi$ における $b$

共役な複素数：複素数 $a+bi$ に対する複素数 $a-bi$

※ $a+bi$ と $a-bi$ は互いに共役な複素数である。

※複素数 $\alpha$ に対して，共役な複素数を $\overline{\alpha}$ と表す。

【定理】

複素数の相等

$a+bi=c+di$ $\Leftrightarrow$ $a=c$ かつ $b=d$

特に $a+bi=0$ $\Leftrightarrow$ $a=b=0$

複素数の計算

$a$，$b$ を実数，$\alpha$，$\beta$ を複素数とする。

複素数の四則計算

$i^2=-1$ とするほかは，文字 $i$ の式と考えて行う。

共役な複素数

共役な複素数の和と積はともに実数である。

$(a+bi)+(a-bi)=2a$
$(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$

複素数の積

$\alpha \beta =0$ $\Rightarrow$ $\alpha =0$ または $\beta =0$

負の数の平方根

$a>0$ のとき $\sqrt{-a} = \sqrt{a} i$

特に $\sqrt{-1} = i$

負の数 $-a$ の平方根は $\pm \sqrt{-a} = \pm \sqrt{a} i$