整式の割り算

整式 AA を整式 BB で割るときには，次のことに注意する。

  • $A$ も $B$ も降べきの順に整理してから割り算を行う。
  • 余りの次数が割る式 $B$ の次数より低くなるか，あまりが0になるまで計算を続ける。

【定理】

割り算の基本公式

同じ1つの文字についての2つの整式 AA，BB ( B≠0B \neq 0 )において，AA を BB で割ったときの商を QQ，余りを RR とすると

$A=BQ+R$

ただし，RR は0か，BB より次数の低い整式。

分数式の計算

基本性質

$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{AC}{BC}$ (ただし $C \neq 0$ )

四則計算

  • 加法：$\displaystyle \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$
  • 減法：$\displaystyle \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$
  • 乗法：$\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$
  • 除法：$\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$

繁分数式の計算

【定義】

繁分数式：分母や分子に整式を含む式

※$\frac{A}{B} =A \div B$ を利用して，分子を分母で割る，または，$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$ を利用して，分母や分子の分数式を整式にする。

部分分数分解

【定義】

部分分数分解：1つの分数式を，それ以上簡単にできない2つ以上の分数式の和として表すこと

例)

1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}

2x−1x(x−1)=1x+1x−1\displaystyle \frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}