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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 2次不等式

2次関数のグラフと2次不等式の解

2次方程式 ax2+bx+c=(x−α)(x−β)=0ax^2+bx+c=(x- \alpha )(x- \beta )=0 の判別式を DD，D≧0D \geqq 0 の場合の実数解を α\alpha，β\beta (α≦β)( \alpha \leqq \beta ) とすると，x2x^2 の係数が正である2次不等式の解は次のようになる。

$D$ の符号 $D>0$ $D=0$ $D<0$
$ax^2+bx+c=0$ の実数解 異なる2つの実数解
$x= \alpha，\beta$		 重解
$x= \alpha = \beta$		 実数解はない
$ax^2+bx+c>0$ の解 $x< \alpha$，$\beta <x$ $\alpha$ 以外のすべての実数 すべての実数
$ax^2+bx+c \geqq 0$ の解 $x \leqq \alpha$，$\beta \leqq x$ すべての実数 すべての実数
$ax^2+bx+c<0$ の解 $\alpha <x< \beta$ 解はない 解はない
$ax^2+bx+c \leqq 0$ の解 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ $x= \alpha$ 解はない

判別式と不等式

a≠0a \neq 0，判別式を D=b2−4acD=b^2-4ac とすると

常に $ax^2+bx+c>0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D<0$

常に $ax^2+bx+c \geqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D \leqq 0$

常に $ax^2+bx+c<0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D<0$

常に $ax^2+bx+c \leqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D \leqq 0$

※すべての実数 $x$ について常に成り立つ不等式を絶対不等式という。

2次関数のグラフと xx 軸の共有点の関係

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c (a≠0)(a \neq 0)，D=b2−4acD=b^2-4ac とする。y=f(x)y=f(x) のグラフと xx 軸の共有点の xx 座標 α\alpha，β\beta (α≦β)(\alpha \leqq \beta) について，次のことが成り立つ。

k≠0k \neq 0 のとき

$a>0$ のとき

$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)>0$

$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)>0$

$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$

$a<0$ のとき

$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)<0$

$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)<0$

$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$

k=0k=0 のとき

$a>0$ のとき

$\alpha$，$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)>0$

$\alpha$，$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)>0$

$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$

$a<0$ のとき

$\alpha$，$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)<0$

$\alpha$，$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)<0$

$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$