【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 論理と集合

命題と条件

【定義】

命題：文や式で表された事柄で，真偽が定まるもの

条件：文字を含んだ文や式において，文字に値を代入したとき，その値によって真か偽かが分かる文や式

2つの条件 $p$ ， $q$ について，「 $p$ ならば $q$ 」すなわち $p \Rightarrow q$ の形で表される命題では， $p$ を仮定， $q$ を結論という。

※一般に，「命題が真であることを証明する」ことを「命題を証明する」という。

条件 $p$ ， $q$ を満たすもの全体の集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とすると

「$p \Rightarrow q$ が真」 $\Leftrightarrow$ $P \subset Q$

「$p \Leftrightarrow q$ が真」 $\Leftrightarrow$ $P=Q$

【定義】

反例： $p \Rightarrow q$ が偽であるとき， $P$ の中にある条件 $q$ を満たさない要素

※$p \Rightarrow q$ が偽であるとは，反例が少なくとも1つあるということ。

【定義】

2つの条件 $p$ ， $q$ において

$p \Rightarrow q$ が真であるとき

$p$ は $q$ であるための十分条件である。

$q$ は $p$ であるための必要条件である。

$p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ がともに真( $p \Leftrightarrow q$ )であるとき

$p$ ( $q$ )は $q$ ( $p$ )であるための必要十分条件である。

※このとき $p$ と $q$ は互いに同値であるという。

条件 $p$ ， $q$ を満たすもの全体の集合をそれぞれ $P$ ， $Q$ とすると

「$p \Rightarrow q$ が真」 $\Leftrightarrow$ $P \subset Q$ $\Leftrightarrow$ 「$p$ は $q$ の十分条件」かつ「$q$ は $p$ の必要条件」

「$p \Leftrightarrow q$ が真」 $\Leftrightarrow$ $P=Q$ $\Leftrightarrow$ 「$p$ ( $q$ )は $q$ ( $p$ )であるための必要十分条件」 $\Leftrightarrow$ 「$p$ と $q$ は互いに同値」

【定義】

条件 $p$ の否定( $p$ でない，という条件)を $\overline{p}$ で表す。

※$\overline{\overline{p}}$ は $p$ である。

$\overline{p かつ q}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{p} または \overline{q}$

$\overline{p または q}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{p} かつ \overline{q}$

【定義】

命題 $p \Rightarrow q$ に対し

逆：$q \Rightarrow p$

裏：$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$

対偶：$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$

※命題の真偽とその対偶の真偽は一致するが，命題の真偽とその逆・裏の真偽は必ずしも一致しない。

※命題の真偽とその対偶の真偽が一致することを利用して証明する方法がある。

【定義】

背理法：命題が成り立たないと仮定すると矛盾が導かれることを示し，そのことによって元の命題が真であることを証明する方法

直接証明法：仮定から順に推論を進め，結論を導く証明方法

間接証明法：仮定から間接的に結論を導く証明法(例：背理法，対偶を利用する証明)