【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 集合

集合

集合と要素

【定義】

集合：範囲がはっきりしたものの集まり

要素：集合を構成している1つ1つのもの

$x$ が集合 $A$ に属する( $x \in A$ )：$x$ が集合 $A$ の要素であること

$x$ が集合 $A$ に属さない( $x \notin A$ )：$x$ が集合 $A$ の要素でないこと

集合の表し方

要素を1つ1つ書き並べる

$(集合)= \{ 要素1,要素2,要素3,……,要素n \}$

例)　$A= \{ 2,4,6,8 \}$

要素の満たす条件を示す

$(集合)= \{ (要素の代表)|(nの満たす条件) \}$

例)　$A= \{ 2n|1 \leqq n \leqq 4，nは整数 \}$

包含関係

【定義】

$A$ は $B$ の部分集合( $A \subset B$ )：集合 $A$，$B$ において，$x \in A$ ならば $x \in B$ が成り立つこと

※このとき，$A$ は $B$ に含まれる，または，$B$ は $A$ を含むという。

※$A$ 自身は $A$ の部分集合である。($A \subset A$)

$A$ と $B$ が等しい( $A=B$ )：$A$，$B$ の要素が全く一致していること

※$A=B$ $\Leftrightarrow$ $A \subset B$ かつ $A \supset B$

空集合

【定義】

空集合( $\varnothing$ )：要素がまったくない集合

※空集合はすべての集合の部分集合である。

共通部分と和集合

【定義】

共通部分( $A \cap B$ )：$A$ と $B$ のどちらにも属する要素全体の集合

和集合( $A \cup B$ )：$A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素全体の集合

共通部分( $A \cap B \cap C$ )：$A$，$B$，$C$ のどれにも属する要素全体の集合

和集合( $A \cup B \cup C$ )：$A$，$B$，$C$ の少なくとも1つに属する要素全体の集合

補集合

【定義】

補集合( $\overline{A}$ )：全体集合 $U$ の部分集合 $A$ に対して，$A$ に属さない $U$ の要素全体の集合

※$A \cap \overline{A} = \varnothing$，$A \cup \overline{A} =U$，$\overline{\overline{A}} =A$

※$A \subset B$ ならば $\overline{A} \supset \overline{B}$

ド・モルガンの法則

【法則】

ド・モルガンの法則

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$，$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$