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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 三角形の五心(重心・外心・内心・垂心・傍心)

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重心

三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線を中線という。3本の中線は1点で交わり,この交点を重心という。また,重心は各中線を $2:1$ に内分する。
証明

〈図1〉のように,三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ ,辺 $\mathrm{AC}$ ,辺 $\mathrm{BC}$ の中線をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とする。また,線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{CP}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。

中点連結定理から,

$\displaystyle \mathrm{PQ} \ / \! / \ \mathrm{BC}, \mathrm{PQ} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}$

また, $\triangle \mathrm{G_{1} BC} \backsim  \triangle \mathrm{G_{1} QP}$ だから,

$\displaystyle \mathrm{BG_{1}} : \mathrm{QG_{1}} = \mathrm{BC} : \mathrm{QP} = \mathrm{BC} : \frac{1}{2} \mathrm{BC} = 2:1$

同様にして,

$\mathrm{CG_{1}} : \mathrm{PG_{1}} = 2:1$

また,線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{AR}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。〈図2〉のように, $\triangle \mathrm{G_{2} AB} \backsim \triangle G_{2} RQ$ だから,上と同じようにして,

$\mathrm{AG_{2}} : \mathrm{RG_{2}} = 2:1 , \mathrm{BG_{2}} : \mathrm{QG_{2}} = 2:1$

以上から, $\mathrm{G_{1}} , \mathrm{G_{2}}$ はともに線分 $\mathrm{BQ}$ を $2:1$ に内分するので, $\mathrm{G_{1}}$ と $\mathrm{G_{2}}$ は一致する。したがって3本の中線は1点で交わり,その交点(重心)により各中点は $2:1$ に内分される。

 

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外心

三角形の外接円の中心を外心という。三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり,この点を外心という。
証明

線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線を $l$ とすると,

点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ …(*)

〈図1〉三角形 $\mathrm{ABC}$ において,辺 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線と辺 $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線の交点を $\mathrm{O}$ とすると,

$\mathrm{OA} = \mathrm{OB} , \mathrm{OA} = \mathrm{OC}$

よって, $\mathrm{OA} = \mathrm{OC}$ となるので,(*)から $\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にある。よって,

三角形の三編の垂直二等分線は1点で交わる。

また, $\mathrm{O}$ は $\mathrm{A,B,C}$ から等距離にあるので,点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\mathrm{OA}$ の円周上に $\mathrm{B,C}$ も存在する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円といい,外接円の中心 $\mathrm{O}$ を外心という。

 
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内心

三角形の内接円の中心を内心という。三角形の3つの内心の二等分線は1点で交わり,この点を内心という。
証明

〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について, $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。 $\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので,次のことが成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。 (*)

〈図2〉のように,三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{B}$ の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の二等分線の交点を $\mathrm{I}$ とし, $\mathrm{I}$ から辺 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とすると,

$\mathrm{IP} = \mathrm{IQ} , \mathrm{IR} = \mathrm{IQ}$ 

よって, $\mathrm{IP} = \mathrm{IR}$ となるので,(*)から $\mathrm{I}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線上にある。したがって,

三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。

また,この点 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $\mathrm{IP}$ の円は,三角形 $\mathrm{ABC}$ の3辺に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円といい,内接円の中心 $\mathrm{I}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心という。

 
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垂心

三角形の頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わり,この点を垂心という。
証明

〈図1〉のように,点 $\mathrm{A}$ を通り辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線と点 $\mathrm{B}$ を通り辺 $\mathrm{CA}$ に平行な直線と点 $\mathrm{C}$ を通り辺 $\mathrm{AB}$ に平行な直線の交点をそれぞれ図のように点 $\mathrm{D,E,F}$ とおく。

$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{DA}$ ,かつ, $\mathrm{AC} \ / \! / \ \mathrm{DB}$ より,四角形 $\mathrm{ACBD}$ は平行四辺形なので, $\mathrm{BC} = \mathrm{DA}$ …①

$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{AF}$ , かつ, $\mathrm{AB} \ / \! / \ \mathrm{FC}$ より,四角形 $\mathrm{ABCF}$ は平行四辺形なので, $\mathrm{BC} = \mathrm{AF}$ …②

①,②より,

$\mathrm{DA} = \mathrm{AF}$ …③

③より, $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{FD}$ の垂直二等分線となる。

同様に $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{CA}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{DE}$ の垂直二等分線であり, $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{EF}$ の垂直二等分線である。

各辺の垂直二等分線の交点は三角形 $\mathrm{DEF}$ の外心であるので,1点で交わる。この点を $\mathrm{H}$ とすると,

$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC} , \mathrm{BH} \perp \mathrm{CA} , \mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$

となり,この点 $\mathrm{H}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心という。

 

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傍心

三角形の1つの頂点の内角の二等分線と,他の2つの頂点の外角の二等分線は1点で交わる。この点を傍心という。
証明

〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について, $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。

$\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので,次のことが成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ が$l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。 …(*)

〈図2〉のように,三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{B}$ の外角の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線の交点を $\mathrm{S}$ とし, $\mathrm{S}$ から半直線 $\mathrm{AB,AC}$ 辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{D,E,F}$ とすると,

$\mathrm{SD} = \mathrm{SF}, \mathrm{SE} = \mathrm{SF}$

よって, $\mathrm{SD} = \mathrm{SF}$ となるので,(*)から $\mathrm{S}$ は $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線上にある。したがって,〈図3〉のように三角形 $\mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線と, $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線は1点 $\mathrm{S}$ で交わる。

また,この点 $\mathrm{S}$ を中心とする半径 $\mathrm{SD}$ の円は,直線 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍接円といい,傍接円の中心 $\mathrm{S}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍心という。

注:傍心は1つの三角形に対して3つある。