重心
〈図1〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ ，辺 $\mathrm{AC}$ ，辺 $\mathrm{BC}$ の中線をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とする。また，線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{CP}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。
中点連結定理から，
$\displaystyle \mathrm{PQ} \ / \! / \ \mathrm{BC}, \mathrm{PQ} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}$
また， $\triangle \mathrm{G_{1} BC} \backsim \triangle \mathrm{G_{1} QP}$ だから，
$\displaystyle \mathrm{BG_{1}} : \mathrm{QG_{1}} = \mathrm{BC} : \mathrm{QP} = \mathrm{BC} : \frac{1}{2} \mathrm{BC} = 2:1$
同様にして，
$\mathrm{CG_{1}} : \mathrm{PG_{1}} = 2:1$
また，線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{AR}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。〈図2〉のように， $\triangle \mathrm{G_{2} AB} \backsim \triangle G_{2} RQ$ だから，上と同じようにして，
$\mathrm{AG_{2}} : \mathrm{RG_{2}} = 2:1 , \mathrm{BG_{2}} : \mathrm{QG_{2}} = 2:1$
以上から， $\mathrm{G_{1}} , \mathrm{G_{2}}$ はともに線分 $\mathrm{BQ}$ を $2:1$ に内分するので， $\mathrm{G_{1}}$ と $\mathrm{G_{2}}$ は一致する。したがって3本の中線は1点で交わり，その交点(重心)により各中点は $2:1$ に内分される。
外心
線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線を $l$ とすると，
点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ …(＊)
〈図1〉三角形 $\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線と辺 $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線の交点を $\mathrm{O}$ とすると，
$\mathrm{OA} = \mathrm{OB} , \mathrm{OA} = \mathrm{OC}$
よって， $\mathrm{OA} = \mathrm{OC}$ となるので，(＊)から $\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にある。よって，
三角形の三編の垂直二等分線は1点で交わる。
また， $\mathrm{O}$ は $\mathrm{A,B,C}$ から等距離にあるので，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\mathrm{OA}$ の円周上に $\mathrm{B,C}$ も存在する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円といい，外接円の中心 $\mathrm{O}$ を外心という。
内心
〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について， $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。 $\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので，次のことが成り立つ。
点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。 (＊)
〈図2〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ において， $\angle \mathrm{B}$ の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の二等分線の交点を $\mathrm{I}$ とし， $\mathrm{I}$ から辺 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とすると，
$\mathrm{IP} = \mathrm{IQ} , \mathrm{IR} = \mathrm{IQ}$
よって， $\mathrm{IP} = \mathrm{IR}$ となるので，(＊)から $\mathrm{I}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線上にある。したがって，
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。
また，この点 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $\mathrm{IP}$ の円は，三角形 $\mathrm{ABC}$ の3辺に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円といい，内接円の中心 $\mathrm{I}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心という。
垂心
〈図1〉のように，点 $\mathrm{A}$ を通り辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線と点 $\mathrm{B}$ を通り辺 $\mathrm{CA}$ に平行な直線と点 $\mathrm{C}$ を通り辺 $\mathrm{AB}$ に平行な直線の交点をそれぞれ図のように点 $\mathrm{D,E,F}$ とおく。
$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{DA}$ ，かつ， $\mathrm{AC} \ / \! / \ \mathrm{DB}$ より，四角形 $\mathrm{ACBD}$ は平行四辺形なので， $\mathrm{BC} = \mathrm{DA}$ …①
$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{AF}$ ， かつ， $\mathrm{AB} \ / \! / \ \mathrm{FC}$ より，四角形 $\mathrm{ABCF}$ は平行四辺形なので， $\mathrm{BC} = \mathrm{AF}$ …②
$\mathrm{DA} = \mathrm{AF}$ …③
③より， $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{FD}$ の垂直二等分線となる。
同様に $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{CA}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{DE}$ の垂直二等分線であり， $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に対して垂直に引いた直線は辺 $\mathrm{EF}$ の垂直二等分線である。
各辺の垂直二等分線の交点は三角形 $\mathrm{DEF}$ の外心であるので，1点で交わる。この点を $\mathrm{H}$ とすると，
$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC} , \mathrm{BH} \perp \mathrm{CA} , \mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$
となり，この点 $\mathrm{H}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心という。
傍心
〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について， $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。
$\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので，次のことが成り立つ。
点 $\mathrm{P}$ が$l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。 …(＊)
〈図2〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ において， $\angle \mathrm{B}$ の外角の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線の交点を $\mathrm{S}$ とし， $\mathrm{S}$ から半直線 $\mathrm{AB,AC}$ 辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{D,E,F}$ とすると，
$\mathrm{SD} = \mathrm{SF}, \mathrm{SE} = \mathrm{SF}$
よって， $\mathrm{SD} = \mathrm{SF}$ となるので，(＊)から $\mathrm{S}$ は $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線上にある。したがって，〈図3〉のように三角形 $\mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線と， $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線は1点 $\mathrm{S}$ で交わる。
また，この点 $\mathrm{S}$ を中心とする半径 $\mathrm{SD}$ の円は，直線 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍接円といい，傍接円の中心 $\mathrm{S}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍心という。
注:傍心は1つの三角形に対して3つある。