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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 連続する整数の積

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連続する整数の積

[Ⅰ] 連続する2個の整数の積 $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

[Ⅱ] 連続する整数の積 $L=n(n+1)(n+2)$ は6の倍数である。

証明

[Ⅰ] $n$ が偶数のとき, $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

$n$ が奇数のとき, $(n+1)$ は偶数であるから, $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

したがって,すべての整数 $n$ において, $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

[Ⅱ] $J=n(n+1)(n+2)=(n+2)I$ であり,[Ⅰ] から$J$ は2の倍数である。

次に, $J$ が3の倍数であることを示す。すべての整数 $n$ は,ある整数 $k$ を用いて $n=3k,3k+1,3k+2$ のいずれかの形で表せる。

(i) $n=3n$ のとき,

$J=3k(3k+1)(3k+2)$ より, $J$ は3の倍数である。

(ii) $n=3k+1$ のとき,

$J=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+2)(3k+2)(k+1)$ より, $J$ は3の倍数である。

(iii) $n=3k+2$ のとき,

$J=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3(3k+2)(k+1)(3k+4)$ より, $J$ は3の倍数である。

以上、(i),(ii),(iii)より,すべての整数 $n$ において,$J$ は3の倍数である。

したがって,$J$ は2の倍数かつ3の倍数,すなわち6の倍数である。