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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 最大公約数と最小公倍数の関係

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最大公約数と最小公倍数の関係

2つの整数 $a,b$ の最大公約数を $G$ ,最小公倍数を $L$ とすると,整数 $a’,b’$ を用いて $a=Ga’ , b=Gb’$ と表せ,

[Ⅰ] $a’$ と $b’$ は互いに素

[Ⅱ] $L=Ga’b’$

[Ⅲ] $ab=GL$ 

が成り立つ。

証明

[Ⅰ] $a,b$ は,最大公約数 $G$ と整数 $a’,b’$ を用いて $a=Ga’,b=Gb’$ と表せる。ここで, $a’,b’$ が共通の素因数 $p$ ( $p \geqq 2$ )を持つとすると, $a,b$ はともに $pG$ の倍数となるから,最大公約数が $G$ より大きくなり矛盾。よって, $a’,b’$ は互いに素な整数である。

[Ⅱ] $a,b$ の公倍数を $l$ とすると, $l$ は $a$ の倍数であり, $b$ の倍数でもあるから, $\displaystyle \frac{l}{a} , \frac{l}{b}$ すなわち $\displaystyle \frac{l}{Ga’} , \frac{l}{Gb’}$ は整数である。これより, $l$ は $G,a’,b’$ を因数に持つ。よって, $a,b$ の最小公倍数 $L$ は $G,a’,b’$ を因数に持つ最小の正の整数であるから, $L=Ga’b’$ である。

[Ⅲ] [Ⅱ]を用いると, $ab=Ga’ \cdot Gb’=G \cdot (Ga’b’)=GL$