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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 余事象の確率

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余事象の確率

事象 $A$ の余事象 $\overline{A}$ の起こる確率 $P( \overline{A} )$ は,

 $P( \overline{A} ) =1-P(A)$

と計算できる。

証明①

事象 $A$ が起こらないという事象を, $A$ の余事象といい, $\overline{A}$ と表す。 $\overline{A}$ の要素の個数について,

$n( \overline{A} ) =n(U)-n(A)$

が成り立ち,この式において,両辺を全事象の要素の個数 $n(U)$ で割ると,

$\displaystyle \frac{n( \overline{A} )}{n(U)} = \frac{n(U)}{n(U)} – \frac{n(A)}{n(U)}$

であるから,

$P( \overline{A} ) =1-P(A)$

証明②

事象 $A$ と $\overline{A}$ の和事象 $A \cup \overline{A}$ の確立を考えて,

$P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P( \overline{A} ) -P(A \cap \overline{A})$

$A \cup \overline{A} =U,A \cap \overline{A} = \varnothing$ より,

$P(A \cup \overline{A} =P(U)=1$ , $P(A \cap \overline{A} )=0$

であるから, 

$1=P(A) +P( \overline{A} )-0$

$P( \overline{A} )=1-P(A)$