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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 事象の独立・独立な試行・反復試行の確率

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独立な試行

独立な試行 $S,T$ において試行 $S$ において事象 $A$ が起こり,なおかつ試行 $T$ において事象 $B$ が起こる確率は,

$P(A) \times P(B)$

証明

2つの試行 $S,T$ において, $A$ の思考が $T$ の結果には影響せず,また $T$ の試行も $S$ の結果に影響を与えないとき, $S$ と $T$ は独立な試行であるという。

例えば,

$S:硬貨を一枚投げる$ $T:サイコロを1回ふる$

とすると, $S$ と $T$ は独立である。

試行 $S,T$ における全事象をそれぞれ $U,V$ とすると,

$\displaystyle P(A) = \frac{n(A)}{n(U)},P(B)= \frac{n(B)}{n(V)}$

一方,試行 $S,T$ を行うとき,起こりうるすべての場合の数は,

$n(U) \times n(V)$ (通り)

であり,これは同様に確からしい。

このうち $S$ において事象 $A$ が起こり,なおかつ $T$ において事象 $B$ が起こるのは,

$n(A) \times n(B)$ (通り)

であるから, $S$ において事象 $A$ が起こり、なおかつ  $T$ において事象 $B$ が起こる確率は,

$\displaystyle \frac{n(A) \times n(B)}{n(U) \times n(V)}$

であり,

$\displaystyle \frac{n(A) \times n(B)}{n(U) \times n(V)} = \frac{n(A)}{n(U)} \times \frac{n(B)}{n(V)} = P(A) \times P(B)$

であるから, $S$ において事象 $A$ が起こり,なおかつ $T$ において事象 $B$ が起こる確率は

$P(A) \times P(B)$

 

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反復試行の確率

事象 $A$ の起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返すとき,事象 $A$ がちょうど $r$ 回( $r=0,1,2, \cdots ,n$ )起こる確率は,

$_{n} C_{r} p^r (1-p)^{n-r}$ (ただし, $p^0= (1-p)^0 =1$ )

 

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事象の独立

ある一つの試行 $S$ における事象 $A,B$ において, $A$ と $B$ が独立であるとは,

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

が成り立つことである。