和事象の確率・確率の加法定理
2つの事象 $A,B$ の和集合 $A \cup B$ の確率は
$P(A \cup B) =P(A)+P(B) -P(A \cap B)$
であり，特に，事象 $A$ と事象 $B$ が互いに排反のとき，
$P(A \cup B)= P(A) + P(B)$
証明
2つの事象 $A,B$ の和事象 $A \cup B$ の要素の個数について，
$n(A \cup B) =n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
が成り立つ。
この式において，両辺を全事象の要素の個数 $n(U)$ で割ると，
$\displaystyle \frac{n(A \cup B)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)} – \frac{n(A \cap B)}{n(U)}$
となるから，
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
特に，事象 $A$ と $B$ が互いに排反のとき，
$P(A \cap B)=0$
であるから，
$P(A \cap B) = 0$
であるから，
$P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
これを確立の加法定理という。