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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 和事象の確率・確率の加法定理

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和事象の確率・確率の加法定理

2つの事象 $A,B$ の和集合 $A \cup B$ の確率は

$P(A \cup B) =P(A)+P(B) -P(A \cap B)$

であり,特に,事象 $A$ と事象 $B$ が互いに排反のとき,

$P(A \cup B)= P(A) + P(B)$ 

証明

2つの事象 $A,B$ の和事象 $A \cup B$ の要素の個数について,

$n(A \cup B) =n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

が成り立つ。

この式において,両辺を全事象の要素の個数 $n(U)$ で割ると,

$\displaystyle \frac{n(A \cup B)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)} – \frac{n(A \cap B)}{n(U)}$

となるから,

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

特に,事象 $A$ と $B$ が互いに排反のとき,

$P(A \cap B)=0$

であるから,

$P(A \cap B) = 0$

であるから,

$P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ 

これを確立の加法定理という。