【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A –順列・円順列・数珠順列・重複順列・同じものを含む順列

$n$ , $r$ は $r \leqq n$ をみたす自然数とする。異なる $n$ 個から $r$ 個を選び，一列に並べる並べ方の総数を $_{n} P _{r}$ で表す。このとき，

$_{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)$ 通り

異なる $n$ 個のものを円形に並べる並べ方は，

$(n-1)!$ 通り

異なる $n$ 個の球に糸を通してネックレスのようなものを作る順列を数珠順列(ネックレスの順列)という。このとき数珠順列の総数は，

$\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}$ 通り

同じものを含むいくつかの球に糸を通してネックレスを作る順列を数珠順列(ネックレスの順列)という。このとき球を円形に並べる並べ方が $n$ 通りあり，そのうち左右対称な並べ方が $m$ 通りあるとき，数珠順列の総数は，

$\displaystyle m+ \frac{n-m}{2}$ (通り)

異なる $n$ 個のものを重複を許して一列に $m$ 個並べるとき，その並べ方は

$n^m$ 通り

$n$ 個のもののうち、 $p$ 個が同じもの，$q$ 個が同じもの， $r$ 個が同じもの， $\cdots$ のとき，この $n$ 個を一列に並べる並べ方は，

$\displaystyle \frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \cdots}$ 通り