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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 平均・分散・共分散・標準偏差における変量の変換

平均における変量の変換

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1} , x_{2} , \cdots  , x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ とする。

ui=axi+bu_{i} = ax_{i} +b (i=1,2,⋯ ,n)(i=1,2, \cdots ,n) としたとき，uiu_{i} の平均値 u‾\overline{u} は，

u‾=ax‾+b\overline{u}= a \overline{x} +b

証明

xx の平均値 x‾\overline{x} は，

x‾=1n(x1+x2+⋯+xn)\overline{x} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n})

このとき， uiu_{i} の平均値 u‾\overline{u} は，

u‾=1n(u1+u2+⋯+un)\overline{u} = \frac{1}{n} (u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n})

=1n{(ax1+b)+(ax2+b)+⋯+(axn+b)}= \frac{1}{n} \{ (ax_{1} +b) + (ax_{2} +b) + \cdots + (ax_{n} +b) \}

=1n{a(x1+x2+⋯+xn)+nb}= \frac{1}{n} \{ a (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} ) +nb \}

=a⋅1n(x1+x2+⋯+xn)+b= a \cdot \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} ) +b

=ax‾+b=a \overline{x} +b

分散・標準偏差における変量の変換

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$  ， 分散 $s_{x}^2$ ，標準偏差を $s_{x}$ とする。 $u_{i} = ax_{i} +b$ $(i=1,2, \cdots ,n)$ としたとき， $u_{i}$ の分散を $s_{1}^2$ ，標準偏差を $s_{u}$ とすると，

[Ⅰ] su2=a2sx2s_{u}^2 = a^2 s_{x}^2

[Ⅱ] su=∣a∣sxs_{u} = \vert a \vert s_{x}

証明

xx の平均値 x‾\overline{x} ，分散 sx2s_{x}^2 は，

{x‾=1n(x1+x2+⋯+xn)sx2=1n{(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \overline{x} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} ) \\ \displaystyle s_{x}^2= \frac{1}{n} \{ (x_{1} - \overline{x} )^2 + (x_{2} - \overline{x} )^2 + \cdots + (x_{n} - \overline{x} ) ^2 \} \end{array} \right.

ui=axi+bu_{i} =ax_{i} +b のとき， u‾=ax‾+b\overline{u} =a \overline{x} +b 。このとき，uu の分散 ux2u_{x}^2 は，

u1−u‾=ax1+b−(ax‾+b)=a(x1−x‾u_{1} - \overline{u} =ax_{1} +b-(a \overline{x} +b) = a(x_{1} - \overline{x}

u2−u‾=ax2+b−(ax‾+b)=a(x2−x‾u_{2} - \overline{u} =ax_{2} +b-(a \overline{x} +b) = a(x_{2} - \overline{x}

⋮\vdots

un−u‾=axn+b−(ax‾+b)=a(xn−x‾u_{n} - \overline{u} =ax_{n} +b-(a \overline{x} +b) = a(x_{n} - \overline{x}

より，

[Ⅰ] su2=1n{(u1−u‾)2+(u2−u‾)2+⋯+(un−u‾)2}\displaystyle s_{u}^2 = \frac{1}{n} \{ (u_{1} - \overline{u} )^2 + (u_{2} - \overline{u} )^2 + \cdots + ( u_{n} - \overline{u} )^2 \}

=1n{a2(x1−x‾)2+a2(x2−x‾)2+⋯+a2(xn−x‾)2}\displaystyle = \frac{1}{n} \{ a^2 (x_{1} - \overline{x} )^2 + a^2 (x_{2} - \overline{x} )^2 + \cdots + a^2 (x_{n} - \overline{x} )^2 \}

=a2⋅1n{(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2}=a2⋅sx2\displaystyle =a^2 \cdot \frac{1}{n} \{ ( x_{1} - \overline{x} )^2 + (x_{2} - \overline{x} )^2 + \cdots +(x_{n} - \overline{x} )^2 \} = a^2 \cdot s_{x} ^2

したがって，

[Ⅱ] su=a2⋅sx2=∣a∣sxs_{u} = \sqrt{a^2 \cdot s_{x}^2} = \vert a \vert s_{x}

共分散における変量の変換

2つの変量 $x$ ， $y$ からなるデータとして， $n$ 個の値の組 $(x_{1} , y_{1} ) , (x_{2} , u_{2} ) , \cdots (x_{n} , y_{n} )$ がある。 $i=1,2, \cdots , n$ として， $x_{i}$ ， $y_{i}$ の平均値を $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ， $x_{i}$ ， $y_{i}$ の共分散を $s_{xy}$ とおく。このとき， $u_{i}=ax_{i} +b$ ， $v_{i} =cy_{i} +d$ としたとき， $u_{i}$ ， $v_{i}$ の共分散を $s_{uv}$ とおくと，

suv=acsxys_{uv} =acs_{xy}

証明

xix_{i} , yiy_{i} の共分散 sxys_{xy} は，

sxy=1n{(x1−x‾)(y1−y‾)+⋯+(xn−x‾)(yn−y‾)}\displaystyle s_{xy} = {1}{n} \{ (x_{1} - \overline{x} )(y_{1} - \overline{y} ) + \cdots + (x_{n} - \overline{x} )( y_{n} - \overline{y} ) \}

このとき， uiu_{i} ， viv_{i} の共分散 suvs_{uv} は，

suv=1n{(u1−u‾)(v1−v‾)+(u2−u‾)(v2−v‾)+⋯+un−u‾)(vn−v‾)}\displaystyle s_{uv} = \frac{1}{n} \{ (u_{1} - \overline{u} )(v_{1} - \overline{v} )+( u_{2} - \overline{u} )( v_{2} - \overline{v} ) + \cdots + u_{n} - \overline{u} )( v_{n} - \overline{v} ) \}

=1n({ax1+b−(ax‾+b)}{cy1+d−(cy‾+d)}+⋯+{axn+b−(ax‾+b)}{cyn+d−(cy‾+d)})\displaystyle = \frac{1}{n} ( \{ ax_{1} +b- (a \overline{x} +b) \} \{ cy_{1} +d-(c \overline{y} +d) \} + \cdots + \{ ax_{n} +b-(a \overline{x} + b) \} \{ cy_{n} +d-(c \overline{y} +d) \} )

=1n{a(x1−x‾)⋅c(y1−y‾)+⋯+a(xn−x‾)⋅c(yn−y‾)}\displaystyle = \frac{1}{n} \{ a (x_{1} -\overline{x} ) \cdot c( y_{1} - \overline{y} ) + \cdots +a (x_{n} - \overline{x} ) \cdot c ( y_{n} - \overline{y} ) \}

=a⋅c⋅1n{x1−x‾)(y1−y‾)+⋯+(xn−x‾)(yn−y‾)}\displaystyle =a \cdot c \cdot \frac{1}{n} \{ x_{1} - \overline{x} )(y_{1} - \overline{y} )+ \cdots + ( x_{n} - \overline{x} )( y_{n} - \overline{y} ) \}

=acsxy=acs_{xy}