命題とその真偽
命題とは，正しいか正しくないかが明確に決まる文や式のことであり，命題が正しいとき，その命題は真であるといい，命題が正しくないとき，その命題は偽であるという。
逆・裏・対偶
命題「$p$ ならば $q$ である」に対して，
逆： $q$ ならば $p$ である。
裏： $p$ でないならば $q$ でない。
対偶： $q$ でないならば $p$ でない。
対偶命題と真偽
命題「 $p \Longrightarrow q$ 」とその対偶「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 」の真偽は一致する。
証明
全体集合を $U$ とし，条件 $p$ をみたす要素の集合を $P$ ，条件 $q$ をみたす要素の集合を $Q$ とすると，「 $p \Longrightarrow q$ 」が真であるのは $P \subset Q$ のときだけである〈図１〉。
（集合） $P$の補集合 $\overline{P}$ は〈図２〉のようになり，（集合） $Q$ の補集合 $\overline{Q}$ は〈図３〉のようになる。
このとき， $\overline{Q}$ は $\overline{P}$ に含まれ，
「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 」
も真となる。
したがって，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」が真であれば，その対偶「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ も真であり，命題「$p \Longrightarrow q$ 」が偽であれば，その対偶「 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 」も偽である。
注：「 $p \Longrightarrow q$ 」という命題の真偽判定の方法
(i)条件 $p$ をみたすすべてのものが条件 $q$ をみたすとき，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」は真であると判断する。
(ii)条件 $p$ をみたすものの中で，条件 $q$ をみたさないもの(これを反例という)が存在するとき，命題「 $p \Longrightarrow q$ 」は偽であると判断する。
(「 $p \Longrightarrow q$ 」が偽であることをいうためには反例を1つ示せばよい)