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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 三角形の面積

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三角形の面積

三角形 $\mathrm{ ABC }$ が右図のようなとき,$\angle \mathrm{ ACB } = \theta $ とする。このとき,三角形$\mathrm{ ABC } $ の面積を $S$ とすると,

$\displaystyle S= \frac{1}{2} ab \sin \theta$

証明

点 $\mathrm{ B }$ から直線 $\mathrm{ AC }$に下ろした垂線の足を $H$ とし, $\mathrm{ BC } =h$ とする。

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $S$ とすると,

$\displaystyle S= \frac{1}{2} \times (底辺) \times (高さ)$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times h$

また, $0^{ \circ } \lt \theta \leqq 90^{ \circ }$ のとき〈図1〉

$\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$

$90^{ \circ } \lt \theta \lt 180^{ \circ }$ のとき〈図2〉,

$\sin (180^{ \circ } – \theta )= \sin \theta$ なので,

$\displaystyle \sin (180^{ \circ } – \theta )= \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$

よって,

$\displaystyle S- \frac{1}{2} b \cdot h$

$\displaystyle = \frac{1}{2} b \cdot a \sin \theta$

$\displaystyle = \frac{1}{2} ab \sin \theta$