三角形の面積
三角形 $\mathrm{ ABC }$ が右図のようなとき，$\angle \mathrm{ ACB } = \theta $ とする。このとき，三角形$\mathrm{ ABC } $ の面積を $S$ とすると，
$\displaystyle S= \frac{1}{2} ab \sin \theta$
証明
点 $\mathrm{ B }$ から直線 $\mathrm{ AC }$に下ろした垂線の足を $H$ とし， $\mathrm{ BC } =h$ とする。
三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $S$ とすると，
$\displaystyle S= \frac{1}{2} \times (底辺) \times (高さ)$
$\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times h$
また， $0^{ \circ } \lt \theta \leqq 90^{ \circ }$ のとき〈図１〉
$\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$
$90^{ \circ } \lt \theta \lt 180^{ \circ }$ のとき〈図２〉，
$\sin (180^{ \circ } – \theta )= \sin \theta$ なので，
$\displaystyle \sin (180^{ \circ } – \theta )= \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$
よって，
$\displaystyle S- \frac{1}{2} b \cdot h$
$\displaystyle = \frac{1}{2} b \cdot a \sin \theta$
$\displaystyle = \frac{1}{2} ab \sin \theta$