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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – $90^{ \circ } -A$，$180^{ \circ } - \theta $ の三角比

90∘−A 90^{ \circ } -A の三角比

$A$ を鋭角とするとき，

[Ⅰ] sin⁡(90∘−A)=cos⁡A\sin (90^{ \circ } -A)= \cos A ，

[Ⅱ] cos⁡(90∘−A)=sin⁡A\cos (90^{ \circ } -A)= \sin A ，

[Ⅲ] tan⁡(90∘−A)=1tan⁡A\displaystyle \tan \left( 90^{ \circ } -A \right) = \frac{1}{ \tan A}

証明

AA が鋭角となる，右図のような直角三角形 ABC\mathrm{ ABC } において，

B=90∘−AB=90^{ \circ } -A

また，[Ⅰ] sin⁡A=ac\displaystyle \sin A = \frac{a}{c} ，

[Ⅱ] cos⁡A=bc\displaystyle \cos A = \frac{b}{c} ，

[Ⅲ] tan⁡A=ab\displaystyle \tan A = \frac{a}{b} .

このとき，

[Ⅰ] sin⁡(90∘−A)=sin⁡B=bc=cos⁡A\displaystyle \sin (90^{ \circ } -A)= \sin B= \frac{b}{c}= \cos A

[Ⅱ] cos⁡(90∘−A)=cos⁡B=ac=sin⁡A\displaystyle \cos (90^{ \circ } -A)= \cos B= \frac{a}{c}= \sin A

[Ⅲ] tan⁡(90∘−A)=tan⁡B=ba=1ab=1tan⁡A\displaystyle \tan (90^{ \circ } -A)= \tan B= \frac{b}{a}= \frac{1}{ \frac{a}{b}} =\frac{1}{ \tan A}

180∘−θ180^{ \circ } - \theta の三角比

$0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } $ のとき，

[Ⅰ] sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin (180^{ \circ } - \theta )= \sin \theta .

[Ⅱ] cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos (180^{ \circ } - \theta )=- \cos \theta .

[Ⅲ] tan⁡(180∘−θ)=−tan⁡θ\tan (180^{ \circ } - \theta )=- \tan \theta .