【インスタント中高数学】第10講 図形は数学の分水嶺【図形の性質】

【定義】

直線 $\boldsymbol{\mathrm{AB}}$：2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ を通る両方向に限りなく伸びている真っ直ぐな線

線分 $\boldsymbol{\mathrm{AB}}$：直線 $\mathrm{AB}$ のうち，点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{B}$ までの部分

半直線 $\boldsymbol{\mathrm{AB}}$：直線 $\mathrm{AB}$ のうち，線分 $\mathrm{AB}$ と点 $\mathrm{B}$ の外側の部分

交点：2つの線が交わる点

平面上の2直線 $l$，$m$ が交わらないとき，2直線 $l$，$m$ は平行であるという。

このとき，記号 $/\!/$ を使って $l /\!/ m$ と書き，「$l$ 平行 $m$」と読む。

2直線 $l$，$m$ が交わってできる角が直角であるとき，2直線は垂直であるという。

このとき，記号 $\perp$ を使って $l \perp m$ と書き，「$l$ 垂直 $m$」と読む。

また，2直線が垂直であるとき，一方を他方の垂線という。

2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 間の距離：線分 $\mathrm{AB}$ の長さ

点 $\mathrm{P}$ と直線 $l$ の距離：点 $\mathrm{P}$ から直線 $l$ に垂線を引き，その交点を $\mathrm{H}$ としたときの線分 $\mathrm{PH}$ の長さ

平行な2直線 $l$，$m$ の距離：一方の直線上の点と他方の直線との距離(これは常に等しくなる)

中点：線分 $\mathrm{AB}$ 上で，点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ から等しい距離にある点

点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する：$m$，$n$ を正の数としたとき，線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} =m:n$ を満たすこと

内分点：内分する点

点 $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する：$m$，$n$ を正の数としたとき，線分 $\mathrm{AB}$ の延長上の点 $\mathrm{Q}$ が $\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} =m:n$ を満たすこと

外分点：外分する点

線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線：線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ を通り，線分 $\mathrm{AB}$ に垂直な直線

半直線 $\mathrm{BA}$ ， $\mathrm{BC}$ によってつくられる角を記号$\angle$ を使って $\boldsymbol{\angle \mathrm{ABC}}$ とかき，「角 $\mathrm{ABC}$」と読む。ただし，他の角と混同することがない場合は $\angle \mathrm{B}$ と表すこともある。

※ $\angle \mathrm{ABC}$ は2つ考えられるが，一般的には小さい方の角を表す。

角の二等分線：1つの角を2等分する半直線

対頂角：2直線が交わってできる4つの角のうち，向かい合った2つの角

同位角：2直線 $l$ ， $m$ とこれらに平行でない直線 $n$ があるとき， $l$ ， $m$ に対して同じ側，かつ， $n$ に対して同じ側の角

錯角：2直線 $l$ ， $m$ とこれらに平行でない直線 $n$ があるとき， $l$ ， $m$ の内側，かつ， $n$ に対して反対側の角

三角形 $\boldsymbol{\mathrm{ABC}}$ を，記号 $\triangle$ を使って $\boldsymbol{\triangle \mathrm{ABC}}$ と書く。

$\triangle \mathrm{ABC}$ が式の中で用いられた場合，その面積を表す。

【定理】対頂角の性質

対頂角は等しい。

【定理】平行線と同位角・錯角

同位角または錯角が等しい $\Leftrightarrow$ 2直線は平行

【定理】多角形の内角の和

$n$ 角形の内角の和は $180^{ \circ } \times (n-2)$

【定理】多角形の外角の和

多角形の外角の和は $360^{ \circ }$

【定義】

作図：定規とコンパスだけを使って図をかくこと

【定義】

合同：2つの図形が移動や裏返しによって重ね合わせられること

※$\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{DEF}$ が合同であることを，記号 $\equiv$ を使って $\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}$ とかき，「三角形 $\mathrm{ABC}$ 合同三角形 $\mathrm{DEF}$」と読む。

拡大図：ある図形を一定の割合で拡大した図

縮図：ある図形を一定の割合で縮小した図

相似：2つの図形において，一方の図形を拡大または縮小すると他方の図形と合同になること

※四角形 $\mathrm{ABCD}$ と四角形 $\mathrm{A’B’C’D’}$ が相似であることを，記号 $\backsim$ を使って，四角形 $\mathrm{ABCD} \backsim$ 四角形 $\mathrm{A’B’C’D’}$ と書き，「四角形 $\mathrm{ABCD}$ 相似四角形 $\mathrm{A’B’C’D’}$」と読む。

相似比：相似な図形において対応する線分の長さの比

相似の位置：2つの相似な図形において，対応する点を通る直線が全て1点 $\mathrm{O}$ を通り，点 $\mathrm{O}$ から対応する点までの距離の比がすべて等しくなるような位置関係

相似の中心：相似の位置における点 $\mathrm{O}$

【定理】三角形の合同条件

2つの三角形において

• 3組の辺がそれぞれ等しい。
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

のいずれかが成り立つならば，2つの三角形は合同

【定理】直角三角形の合同条件

2つの直角三角形において

• 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
• 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

のいずれかが成り立つならば，2つの直角三角形は合同

【定理】合同な図形の性質

• 合同な図形において，対応する線分の長さはそれぞれ等しい。
• 合同な図形において，対応する角の大きさはそれぞれ等しい。

【定理】三角形の相似条件

2つの三角形において

• 3組の辺の比がすべて等しい。
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
• 2組の角がそれぞれ等しい。

のいずれかが成り立つならば，2つの三角形は相似

【定理】相似な図形の性質

• 相似な図形において，対応する線分の長さの比はすべて等しい。
• 相似な図形において，対応する角の大きさはそれぞれ等しい。

【定義】

$\triangle \mathrm{ABC}$ の内角：$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{C}$ における外角：直線 $\mathrm{AC}$ 上に，点 $\mathrm{C}$ に関して点 $\mathrm{A}$ と反対側に点 $\mathrm{D}$ を，直線 $\mathrm{BC}$ 上に，点 $\mathrm{C}$ に関して点 $\mathrm{B}$ と反対側に点 $\mathrm{E}$ をとったときの $\angle \mathrm{ACE}$ と $\angle \mathrm{BCD}$

鋭角：$0^{ \circ }$ より大きく $90^{ \circ }$ より小さい角

鈍角：$90^{ \circ }$ より大きく $180^{ \circ }$ より小さい角

鈍角三角形：3つの内角が鋭角である三角形

直角三角形：1つの内角が直角である三角形

鈍角三角形：1つの内角が鈍角である三角形

二等辺三角形：2つの辺が等しい三角形

頂角：二等辺三角形で，長さの等しい2つの辺がつくる角

底辺：頂角に対する辺

底角：底辺の両端の角

正三角形：3つの辺が等しい三角形

【定理】三角形の3辺の長さの性質

1つの三角形において

• 2辺の長さの和は，他の1辺の長さより大きい
• 2辺の長さの差は，他の1辺の長さより小さい。

【定理】三角形の2辺とその向かい合う角の大小関係

$\triangle \mathrm{ABC}$ について

• $a<b \Leftrightarrow A<B$
• $a=b \Leftrightarrow A=B$
• $a>b \Leftrightarrow A>B$

【定理】三角形の成立条件

正の数 $a$，$b$，$c$ に対して

$|b-c|<a<b+c$ $\Leftrightarrow$ 3辺の長さが $a$ ， $b$ ， $c$ である三角形が存在する

【定理】三角形の辺と角の大小関係

1つの三角形において

• 大きい辺に向かい合う角は，小さい辺に向かい合う各より大きい。
• 大きい角に向かい合う辺は，小さい角に向かい合う辺より大きい。

すなわち $\mathrm{AB} < \mathrm{AC} \Leftrightarrow \angle \mathrm{C} < \angle \mathrm{B}$

【定理】三角形の外角の性質

三角形の外角は，これと隣り合わない2つの内角の和に等しい

【定理】二等辺三角形の性質

• 二等辺三角形の2つの底角は等しい。
• 二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に2等分する。
• 2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である。

【定理】平行線と比

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ 上の点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ とすると，$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC}$ ならば，

• $\mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{AC} = \mathrm{PQ} : \mathrm{BC}$
• $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{QC}$

【定理】3本の平行線と線分の比

平行な3直線 $l_1$ ， $l_2$ ， $l_3$ と，これらに平行でない2直線 $m_1$ ， $m_2$ に対して， $m_1$ と $l_1$ ， $l_2$ ， $l_3$ の交点をそれぞれ $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{C}$ ， $m_2$ と $l_1$ ， $l_2$ ， $l_3$ の交点をそれぞれ $\mathrm{D}$ ， $\mathrm{E}$ ， $\mathrm{F}$ とすると，

$\mathrm{AB} : \mathrm{BC} = \mathrm{DE} : \mathrm{EF}$

【定理】比と平行線

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ 上の点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ とすると，

• $\mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{AC}$ ならば，$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC}$
• $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{QC}$ ならば，$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC}$

【定理】中点連結定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$ とすると，

$\mathrm{MN} /\!/ \mathrm{BC}$，$\mathrm{MN} = \displaystyle{\frac{1}{2}} \mathrm{BC}$

【定理】平行線と同位角・錯角，辺の比

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{P}$ があり，辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{Q}$ があるとき

• $\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{AC}$
• $\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{PB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{QC}$
• $\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{PQ} : \mathrm{BC}$

【定理】三角形の内角の二等分線と辺の比

$\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ との交点 $\mathrm{P}$ は，辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB} : \mathrm{AC}$ に内分する。

【定理】三角形の外角の二等分線と辺の比

$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$ における外角の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の延長との交点 $\mathrm{Q}$ は，辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB} : \mathrm{AC}$ に外分する。

【定理】チェバの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の3頂点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ と，三角形の辺上にもその延長上にもない点 $\mathrm{O}$ を結ぶ直線が，辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長と交わるとき，交点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ とすると

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

【定理】チェバの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺上にあるとする。このとき，$\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$ が交わり，かつ

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば，3直線 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$ は1点で交わる。

【定理】メネラウスの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長が，三角形の頂点を通らない1つの直線とそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ で交わるとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

【定理】メネラウスの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上に，それぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺の延長上にあるとする。このとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば，3点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ は1つの直線上にある。

【定義】

外接円：三角形の3つの頂点を通る円

外心：外接円の中心

内接円：三角形の3辺に接する円

内心：内接円の中心

中線：三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分

重心：三角形の3本の中線の交点

垂心：三角形の3つの頂点から向かい合う辺に下ろした垂線の交点

傍接円：三角形の1辺と他の2辺の延長に接する円

傍心：傍接円の中心

※傍心・傍接円は3つある。

【定理】三角形の五心

• 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。(外心)
• 三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。(内心)
• 三角形の3本の中線は1点で交わり，その点は各中線を $2:1$ に内分する。(重心)
• 三角形の3つの頂点から向かい合う辺に下ろした垂線1点で交わる。(垂心)
• 三角形の1つの頂点における内角の二等分線と，他の2つの頂点における外角の二等分線は1点で交わる。(傍心)

【定義】

対辺：四角形の向かい合う辺

対角：四角形の向かい合う角

台形：1組の対辺が平行な四角形

等脚台形：底辺の両端の内角が等しい台形

平行四辺形：2組の対辺がそれぞれ平行な四角形

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ を，記号 ▱ を使って ▱ $\mathrm{ABCD}$ と書く。

長方形：4つの角が等しい四角形

ひし形：4つの辺が等しい四角形

正方形：4つの角が等しく，4つの辺が等しい四角形

【定理】平行四辺形になるための条件

• 2組の対辺がそれぞれ平行である
• 2組の対辺がそれぞれ等しい
• 2組の対角がそれぞれ等しい
• 2つの対角線がそれぞれの中点で交わる
• 1組の対辺が平行で等しい

【定理】平行四辺形の性質

• 2組の対辺はそれぞれ等しい
• 2組の対角はそれぞれ等しい
• 2つの対角線はそれぞれの中点で交わる

【定義】

弧：円弧の一部分

※2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ を両端とする弧を，記号 $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{  }}$ を使って $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ と書き，「弧 $\mathrm{AB}$」と読む。

弦：円周上の2点を結ぶ線分

扇形：2つの半径と弧で囲まれた図形

中心角：扇形で，2つの半径の作る角

円と直線が接する：円と直線が1点だけを共有すること

接点：共有する点

接線：接する直線

多角形が円に内接する：多角形のすべての頂点が1つの円周上にあること

外接円：多角形のすべての頂点を通る円

点 $\mathrm{O}$ を中心とする円 $\mathrm{O}$ の $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ と，$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ を除いた円周上の点 $\mathrm{P}$ に対して，

$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角：$\angle \mathrm{APB}$

$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する中心角：$\angle \mathrm{AOB}$

【定理】円周角の定理

• 1つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分である。
• 1つの弧に対する円周角はすべて等しい。
• 半円の弧に対する円周角は $90^{ \circ }$ である。

【定理】円周角の定理の逆

2点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AB}$ について同じ側にあるとき

$\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$ $\Rightarrow$ 4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{B}$ は1つの円周上にある

【定理】弧と円周角

1つの円，または半径の等しい円において

• 等しい弧に対する円周角は等しい。
• 等しい円周角に対する弧は等しい。

【定理】円の内部・外部の点と角の大小

円の周上に3点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{B}$ があり，点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{Q}$ と同じ側にあるとき

• 点 $\mathrm{P}$ が円の周上にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$
• 点 $\mathrm{P}$ が円の内部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} > \angle \mathrm{AQB}$
• 点 $\mathrm{P}$ が円の外部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}$

【定理】円に内接する四角形

四角形が円に内接するとき

• 四角形の対角の和は $180^{ \circ }$ である。
• 四角形の外角は，それと隣り合う内角の対角に等しい。

【定理】円に内接する四角形の逆

四角形において

• 1組の対角の和が $180^{ \circ }$ である。
• 1つの外角が，それと隣り合う内角の対角に等しい。

これらのどちらかが成り立つ四角形は円に内接する。

※円に内接する四角形とその逆を合わせて

円に内接する四角形 $\Leftrightarrow$ $(内角)+(対角)=180^{ \circ }$ または $(内角)=(対角の外角)$

【定理】円と接線

• 円 $\mathrm{O}$ の周上の点 $\mathrm{A}$ を通る直線 $l$ について
  直線 $l$ が点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する $\Leftrightarrow$ $\mathrm{OA} \perp l$
  が成り立つ。
• 円の外部の点から円に引くことができる接線は2本ある。
• 円の外部の点から円に接線を引いたとき，外部の点と接点の間の距離を接線の長さという。
• 円の外部の1点 $\mathrm{P}$ からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

【定理】接弦定理

円 $\mathrm{O}$ の弦 $\mathrm{AB}$ と，その端点 $\mathrm{A}$ における接線 $\mathrm{AT}$ が作る角 $\angle \mathrm{BAT}$ は，その角の内部に含まれる $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しい。

【定理】接弦定理の逆

円 $\mathrm{O}$ の $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ と半直線 $\mathrm{AT}$ が直線 $\mathrm{AB}$ の同じ側にあって，$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ が $\angle \mathrm{BAT}$ に等しいとき，直線 $\mathrm{AT}$ は点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する。

【定理】方べきの定理Ⅰ

円の2つの弦 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$ の交点，またはそれらの延長の交点を $\mathrm{P}$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つ。

※円の中心を $\mathrm{O}$，半径を $r$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} =| \mathrm{OP}^2-r^2|$

【定理】方べきの定理Ⅱ

円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通ってこの円と2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ で交わる直線を引くと $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ が成り立つ。

【定理】方べきの定理の逆

2つの線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$，または $\mathrm{AB}$ の延長と $\mathrm{CD}$ の延長が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つならば，4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は1つの円周上にある。

【定義】

共通接線：2つの円に接している直線

共通内接線：2つの円が両側にある共通接線

共通外接線：2つの円が同じ側にある共通接線

【定義】

ねじれの位置：空間内で，2直線が平行でなく，交わらないという位置関係 $\Leftrightarrow$ 空間内で，2直線が同一平面上にないという位置関係

直線 $l$ と平面 $\mathrm{P}$ が交わらないとき，直線 $\boldsymbol{l}$ と平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ は平行であるといい，$l /\!/ \mathrm{P}$とかく。

直線 $l$ が平面 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{O}$ で交わり，点 $\mathrm{O}$ を通る平面 $\mathrm{P}$ 上のすべての直線と垂直であるとき，直線 $\boldsymbol{l}$ と平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ は垂直であるといい，$l \perp \mathrm{P}$ とかく。このとき，直線 $\boldsymbol{l}$ を平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ の垂線という。

2平面 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が交わらないとき，平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ と平面 $\boldsymbol{ \mathrm{Q} }$ は平行であるといい，$\mathrm{P} /\!/ \mathrm{Q}$ とかく。

2平面 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が交わってできる直線を交線という。

2平面 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が交わるとき，その交線 $l$ 上に点 $\mathrm{A}$ をとり，平面 $\mathrm{P}$ 上に$\mathrm{AB} \perp l$，平面 $\mathrm{Q}$ 上に $\mathrm{AC} \perp l$ となる半直線 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ を引く。このとき，$∠ \mathrm{BAC} =90°$ ならば，平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ と平面 $\boldsymbol{ \mathrm{Q} }$ は垂直であるといい，$\mathrm{P} \perp \mathrm{Q}$ とかく。

点 $\boldsymbol{ \mathrm{A} }$ と平面 $\boldsymbol{ \mathrm{P} }$ の距離：平面 $\mathrm{P}$ 上にない点 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{P}$ へ引いた垂線 $\mathrm{AH}$ の長さ

【定理】平面の決定条件

• 同一直線上にない3点
• 1直線と，その上にない1点
• 交わる2直線
• 相異なる平行な2直線

【定理】直線と面の垂直

• 平行な2直線の一方に垂直な直線は他方にも垂直である。
• 直線 $l$ が平面 $\alpha$ 上の交わる2直線 $m$，$n$ に垂直ならば，直線 $l$ は平面 $\alpha$ に垂直である。
• 平面 $\alpha$ の垂線を含む平面は平面 $\alpha$ に垂直である。

【定理】三垂線の定理

平面 $\alpha$ とその上に直線 $l$ があるとき，平面 $\alpha$ 上にない点 $\mathrm{A}$，平面 $\alpha$ 上にあるが直線 $l$ 上にない点 $\mathrm{O}$，直線 $l$ 上に点 $\mathrm{B}$ について

• $\mathrm{OA} \perp \alpha$，$\mathrm{OB} \perp l$ $\Rightarrow$ $\mathrm{AB} \perp l$
• $\mathrm{OA} \perp \alpha$，$\mathrm{AB} \perp l$ $\Rightarrow$ $\mathrm{OB} \perp l$
• $\mathrm{OB} \perp l$，$\mathrm{AB} \perp l$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{OA} \perp \alpha$

【定義】

柱体：合同で平行な二つの平面図形を底面としてもつ立体

直柱体：底面と側面が直行している柱体

斜柱体：底面と側面が直行していない柱体

角柱：底面が多角形の柱体

正多角柱：底面が正多角形の直柱体

錐体：平面上にある図形の周上の各点と，その平面外の一点とを結んでできる立体

直錐体：頭頂点から底面におろした垂線の足が底面の重心に一致する錐体

斜錐体：頭頂点から底面におろした垂線の足が底面の重心に一致しない錐体

※直錐体，斜錐体であることを表すために，直○○錐，斜〇〇錐とかくことがある

角錐：底面が多角形の錐体

※底面の形によって，三角錐，四角錐，…という

※底面に含まれない点を頭頂点という

円錐：底面が円の錐体

正多角錐：底面が正多角形の直錐体

回転体：平面図形を，同じ平面上の直線 $l$ を軸として1回転してできる立体

母線：円錐の場合は頂点と底面の周上の点の線分，円柱の場合は，側面に回転の軸と平行に2つの底面の間に引いた線分

多面体：平面だけで囲まれている立体で，その面の数によって四面体，五面体，…という

凸多面体：へこみのない多面体

正多面体：すべての面が合同な正多角形で，どの頂点にも面が同じ数だけ集まり，へこみのない多面体

※正多面体は，正四面体，正六面体(立方体)，正八面体，正十二面体，正二十面体の5種類しかない。

投影図：立体を正面と真上から見た図で表す方法

立面図：投影図で，立体を正面から見てかいた図

平面図：投影図で，立体を真上から見てかいた図

※立面図と平面図だけでその立体をはっきり表すことができない場合は，真横から見た図を加えて表すことがある。

※立体を平面上の図で表す方法には，他に見取図や展開図がある。

【定理】オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を $v$，辺の数を $e$，面の数を $f$ とすると

$v-e+f=2$

が成り立つ。