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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – 正規分布

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連続型確率変数

【定義】

連続型確率変数:連続した値を取る確率変数

離散型確率変数:とびとびの値をとる確率変数

分布曲線:連続型確率変数 $X$ に対応させた曲線

確率密度関数:分布曲線 $y=f(x)$ における $f(x)$

連続型確率変数の期待値・分散・標準偏差

連続型確率変数 $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ で,その確率密度関数が $f(x)$ であるとき,$X$ の期待値 $m=E(X)$,分散 $V(X)$,標準偏差 $\sigma(X)$ を次の式で定める。

【定理】

確率密度関数の性質

確率密度関数 $f(x)$ について

 

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正規分布

【定義】

正規分布曲線・正規分布

$m$ が実数,$\sigma$ が正の実数,$e$ が自然対数の底のときの曲線

$y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

正規分布曲線といい,連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が正規分布曲線の関数 $f(x)$ のとき,$X$ の確率分布を正規分布という。

このとき,$X$ は正規分布 $\boldsymbol{N(m,\sigma^2)}$ に従うといい,期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ は

$E(X)=m$

$\sigma(X)=\sigma$

標準正規分布

正規分布 $N(0,1)$ を標準正規分布という。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき,$Z=\frac{X-m}{\sigma}$ とおくと,確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ の確率密度関数 $f(z) は

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$

また,一般に確率 $P(0\leqq Z\leqq u)$ を $P(0\leqq Z\leqq u)=p(u)$ と表す。

標準化:正規分布を標準正規分布に直すこと

【定理】

正規分布に従う確率変数の分布曲線の性質

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき,$X$ の分布曲線 $y=f(x)$ は次のような性質をもつ。

 

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二項分布と正規分布

$q=1-p$ とする